用于舰艇运动条件下姿态测量补偿的坐标变换算法

胡 伟 傅 军

（海军工程大学电气工程学院导航工程系 武汉 430033）

1 引言

舰艇航行过程中，因受到风浪作用而产生摇摆，那么与舰艇固连的各种测量天线将随同舰艇摇摆，使得这些天线测量的数据应当要进行摇摆补偿［1～4］，因此数据必须在舰艇载体坐标系和地理坐标系之间进行变换［5］。现有的许多描述舰艇坐标变换的方法，不仅没有说明为什么选择这样假定，还将姿态角与欧拉角等同［6～12］。本文就姿态角和欧拉角的概念进行了研究，通过严格的推导得出了利用姿态角求解舰艇载体坐标系到地理坐标系的坐标变换矩阵的一种实用公式。

2 相关定义说明

从文献［13］中摘录姿态角相关定义：

纵轴：沿运载体主体所规定的运动方向并通过设计重心的轴。

横轴：垂直于纵轴，通常与对称平面垂直并通过设计重心的轴。沿纵轴正向向右取为正向。

姿态角：运载体首向角、横摇角、和纵摇角的统称。如图1所示。O-XYZ表示地理东北天坐标系，O-X′Y′Z′表示载体坐标系。

首向角H：从基准方向顺时针测得的运载体纵轴正向的角度。

横摇角R：运载体横轴与水平面之间的夹角。以横轴正向在水平面上为正。

纵摇角P：运载体纵轴与水平面之间的夹角。以纵轴正向在水平面上为正。

欧拉角：以z-x1-y2旋转顺序为例，如图2所示。α、β、γ分别为围绕X、Y、Z轴旋的角度，以逆时针为正。

3 坐标变换实用公式推导过程

从定义和图1、2可以得出：

1）欧拉角≠姿态角。

2）载体坐标系 X'、Y'轴的空间位置确定了姿态角，进一步说，X'轴确定横摇角，Y'确定纵摇角和航向角。

因此，提出两条推论［7］：

1）当横摇角为0的时，即 X'在OXY水平面内，Y'轴绕X'轴旋转，不会引起航向H的变化。

2）载体位置确定时，X'轴绕Y'轴旋转，将引起横摇角R变化，但不会引起纵摇角P和航向角H的变化。

一组姿态角可能对应多组欧拉角，为了简化姿态角与欧拉角之间的对应关系，使得姿态角与欧拉角能够一一对应。依据两条推论，将Z-X1-Y2旋转模型作为舰艇正常航行时，地理坐标系O-XYZ到载体坐标系O-X'Y'Z'的旋转模型。

证明及实用公式推导如下，如图2所示。

1）第一步绕Z轴旋转γ，得到O-X1Y1Z1，此时 H=-γ，P=0，R=0。

2）第二步绕X1轴旋转α，得到O-X2Y2Z2，此时 H=-γ，P=α，R=0。

3）第三步绕Y2轴旋转 β ，得到O-X'Y'Z'，此时 H=-γ，P=α。

令从地理坐标系O-XYZ到载体坐标系O-X'Y'Z'的旋转矩阵为 R-ZXY，从载体坐标系O-X'Y'Z'到地理坐标系O-XYZ的旋转矩阵为R-YXZ：

在 X'轴上取点A，在 O-X'Y'Z'中坐标为（1，0，0），则 A 点 在 O-XYZ 中 坐 标 为 (cos(β)cos(γ)-sin(α)sin(β)sin(γ)， cos(β)sin(γ)+sin(α)sin(β)cos(γ)，-cos(α)sin(β))。因此得到：

在 Z'轴上取点B，在 O-X'Y'Z'中坐标为（0，0，1），则 B 点 在 O-XYZ 中 坐 标 为 (sin(β)cos(γ)+sin(α)cos(β)sin(γ)， sin(β)sin(γ)-sin(α)cos(β)cos(γ)，cos(α)cos(β))。

舰船正常航行时的状态：

1）舰船桅杆向上，即 O-X'Y'Z'的 Z'轴在O-XYZ中的Z轴分量始终为正，则cos(α)cos(β)＞ 0 。

2）舰船纵横摇 ||P， ||R＜45°，则式（3）始终成立。

综上所述，舰艇正常航行时，姿态角与欧拉角之间的关系如下：

从式（5）可知Z-X1-Y2旋转模型在舰艇正常航行时，不存在奇异值，可作为地理坐标系O-XYZ到载体坐标系O-X'Y'Z'的旋转模型，且该模型欧拉角与姿态角一一对应，计算简单。

4 仿真

在实际计算过程中，一些人将姿态角与欧拉角等同，直接将姿态角代入旋转矩阵进行计算，这样将引入计算误差，并且这种误差不容忽视。

以Z-X1-Y2旋转模型为例，令代入欧拉角的旋转矩阵为R1，计算后的坐标为(x1，y1，z1)，代入姿态角的旋转矩阵为R2，计算后的坐标为(x2，y2，z2)。

通过仿真：

1）假设点A与载体固连，在载体坐标系中坐标为 (0.1，2，1.5)，载体首向角为 45°，纵摇角为10°，横 摇 角 范 围 为 -45°～45°，图 3 显 示 的 是dx=x1-x2，dy=y1-y2，dz=z1-z2随横摇变化的趋势，可以看出坐标差较大，不能忽略。

5 结语

本文从欧拉角、姿态角的基本定义出发，结合舰艇航行的实际条件，利用Z-X1-Y2坐标系旋转模型，推导出一种舰艇坐标变换的实用公式。通过仿真，表明在实际应用中一些不正确用法所带来的误差是不可忽略的，使用实用转换公式是必要的。

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［13］《惯性技术术语》中华人民共和国国家军用标准GJB 585A-98.