数学在金融中的应用研究

刘宇辰

摘 要：数学作为现代科学的重要基础之一，自古以来就扮演着推动全领域发展的重要角色，其重要性不言而喻。金融领域作为统领世界资本要素流动的主要领域，在经济全球化发展的时代，赢得了社会各界的广泛关注。基于这一基础，浅析数学在金融中的应用，从金融数学的概念定义出发，解析了期权定价模型，证券投资组合模型和资产估价模型三种经典的金融问题，并解释了数学在其中扮演的强大作用。

关键词：金融数学；期权定价模型；证券投资组合模型；资产估价模型

中图分类号：F83文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.06.059

1 引言

数学是一门极为广博的学科，其应用遍及各个学科，作为一种工具性科目，往往占据了部分理论的核心位置。数学在金融领域中扎根已久，衍生出金融数学这一种具有交叉特色的，将复杂的数学理论和方法引入金融领域的一门新兴科目，具有重要的应用前景。本文基于这一背景，浅析数学在金融中的应用。

2 概念定义

数学在金融中的应用主要体现为金融数学这一新兴学科，本门科目的重中之重是数学上常见的随机分析、最优控制和组合分析、线性规划等等，其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论等等，多年以来，在实际金融市场中，为金融工具创新和金融运作的稳定产生着直接的影响和推动性，得到了广泛应用。

数学在金融中的应用，主要与诸如心理投资学等等的纯理论分析相背离，具有鲜明的量化特征，或者说，其所着力于解决的问题主要是在多种不确定条件下选择多组合证券，分析证券组合的最优策略，进行组合投资资产定价问题。这一类问题的共同特征，就是需要基于大量计算过程，完善市场选择的敏感性和有效性。在此之中，必须要引述出金融活动的三大重要概念。

其一，套利行为。套利，即在两个及以上的细分市场中，用有利的价格买进金融资产，并在合理的时机进行卖出以赚取其中差值的金融活动行为。买入和卖出的过程往往是在不同的细分市场或者不同的金融产品之间发生的，这需要一系列精准的数学工具的利用，来把握套利行为的时机。其二，最优理论。最优理论的主要核心是收益最优化，这是金融活动的主要出发点之一，在此之中，对金融资产进行合理定价具有重要意义，利用数学工具进行复杂的多层次定价，包含债券和证券组合等等。其三，均衡理論。诸多金融学家通过数学工具对金融方面的供需平衡进行综合分析。毫无疑问，金融行业的最核心部分是货币流通过程，这其中所显示出的显性和隐性资金流，需要依靠于大量的数学关系来加以完整衡量。同时，金融问题由于具有很大程度的不确定性，对一系列数学层面的随机控制机理有着深厚的关系。另外，对金融经济中存在的风险和投入进行估算也具有较大的优越性，上述机制共同促进了数学工具在金融领域的应用和发展。

3 应用解析

数学在金融学科中的应用较为广泛，但相比于纯粹的数学领域而言，金融类数学方法与常规的经济学理论有着无法分割的关系，两者互相影响，共同作用。利用数学进行量化操作来支持一般经济学模型框架，是业界最常用的方法之一。究其本源，数学的存在可以帮助金融操作人员更加直观的对金融问题进行分析研究。其中包括诸多精细化表达，主要以各类框架为主。

3.1 期权定价模型

期权是金融领域中一种常用的金融衍生工具，其代表了一种特定合约，这一类合约的持有人能够在未来的某一个特定日期或其之前对合约固定的金融资产以约定的价格买入或者卖出。这类合约由于具有鲜明的风险规避作用，在实际金融领域中往往能够发挥重要的作用，基于此考虑，建立一个对期权进行定价的数学模型显得至关重要。在此细分领域，最重要的研究成果就是Black-Scholes期权定价模型。此模型自1997年提出以来，已经在实际应用领域中发挥了重要作用。

首先，从本模型的假设开始。对于一个经典的Black-Scholes期权定价模型框架而言，一共具有七个主要假设，包括如下：

其一，市场的股票定价行为符合类似与对数正态分布的模式；其二，在期权合约的有效期内，整个金融体系具有固定的无风险利率和金融资产收益变量；其三，在交易过程中的摩擦成本忽略不计，即市场满足无摩擦特征，证券具有可分割特征；其四，期权是在到期前不可使用的欧式期权；其五，金融资产在期权到期之前无收益；其六，投资者不可以进行无风险套利；最后，证券交易是持续的。

基于如上考虑，经典的Black-Scholes期权定价模型以公式的形式显示如下：

在本公式中，C为期权合约的初始价格，L为期权所含义的交割价格，S为金融资产在交易时刻的现价，T代表了有效期，另外，r为无风险利率，σ2为年度化方差，N则为正态分布变量的分布函数。

Black-Scholes期权定价模型一经提出，就获得了当时的世界最大期权交易商——芝加哥期权交易所的关注，很快投入使用。这一基于数学方法构建的创新性金融模型在实际层面上发挥了极为重要的作用，也昭示着数学在金融领域中的越来越多的广泛关注。

3.2 证券投资组合模型

相比于期权定价模型，在证券投资方向的证券投资组合模型与实际金融市场的影响更大，对此的研究中，具有跨时代意义的Markowitz投资组合模型必须被提起。

证券投资行为本质上是一种财富的追求行为，这一过程中包含这固定收益型证券（无风险），和风险型证券。作为一个稳健的投资者，必须将这两者以一种合适的比例加以组合，从而实现给定期望风险水平下的期望收益最大化，或者实现给定期望收益水平下的风险最小化。

首先从Markowitz投资组合模型的假设开始，在这一理论中，主要有三点假设：其一，股票市场上的投资者具有规避风险的趋向，在追求期望收益水平最大化的情况下也追求风险水平的最小化；其二，投资组合选取的主要考察参数是收益率的期望值与方差；最后，每个投资者都在单一的投资期限里。

Markowitz投资组合模型以公式列示如下：

其中，rp代表组合收益，ri和rj分别代表第i和第j种资产的收益，wi和wj分别代表第i和第j种资产的权重，δ2（rp）为整体的组合风险，cov（ri，rj）为协方差。这一模型代表了数学上经典的二次规划问题，对其的求解必须基于微分学中常见的拉格朗日方法。根据这一模型，构建一个合理的证券投资组合，必须在给定的风险水平下，形成投资组合。是一个完整的最优化思想。

3.3 资产估价模型

相比于另外两种主要理论，资产估价理论显得更加简单清晰。这一模型的提出者是美国的著名数理经济学家Fischer，这一模型的最基本假设为，对于任意一种金融资产而言，当前资产的价值必须等于维持其现金流合理运行的现金流贴现值组合，这一理论的价值在于其是目前主流所有资产估价模型的基础，这种根据资金的时效性和考虑了货币时间价值的理论在诸多复杂理论中间具有不可忽視的重要意义。

最常见的资产估价模型以公式列示如下：

其中，PV代表现值总额，n为金融资产期数，C（t）为t时刻的现金流量，R（t）为贴现率。这一公式的绝对作用在于，承认了现金流分析在金融数学领域的重要作用，为所有接下来的证券投资价值的资本变化估算奠定了合适的基础。

4 结论

数学在金融领域中的价值是无法估量的，无论是复杂的研究方法，抑或是解决相关模型和计算各类参数的手段，数学都能够在金融领域中扮演着至关重要的角色。在现今金融领域不断发展的基础下，数据量的膨胀速度远超我们的想象，对金融数据的合理化处理必须依赖于更加复杂的模型和计算效果，所以，利用数学知识来从根本上提升相关模型的合理程度，开始成了量化思想指导下新时代金融业的更深层次拓展，全领域对于跨界人才的需求也变得越来越大。

参考文献

[1]黄耀. 金融数学中的前沿问题分析[J]. 经贸实践，2017，（17）：75.

[2]李倩，张宇敬. 金融数学中两个基于高等数学的证明[J]. 赤峰学院学报（自然科学版），2013，29（18）：4-6.

[3]程子桐. 金融数学概述及其展望[J]. 金融经济，2017，（16）：114-115.

[4]武亚男. 基于金融数学技巧的期权定价研究[J]. 统计与管理，2017，（08）：94-95.