利用函数思想指导数学线性代数问题的解决

2018-03-21张宾然成都市列五中学

数码世界 2018年2期

张宾然成都市列五中学

函数思想的利用具有多方面的优势，其不仅能够清晰的对数学题目中的因素、关系进行提取，从而让数学问题更加明朗化。同时也能通过对数学对象、特征的总结，继而建立起广泛联系的函数关系。据此，将函数思想作为解题指导引入到线性代数的解题过程中，也便具有了极为深刻的现实意义。

1 线性代数问题下的函数思想概述

函数思想是数学知识理论体系中的重要内容，指的是通过对函数概念与性质的探究，再对问题进行深入分析与转化，并最终实现解题目标的过程。一旦建立起相关函数关系，既可以对变量变化规律、抽象数学对象等抓取信息，同时这种更加简便、准确的解题方式也具有普遍的适用性，利用函数思想也能对许多的数学问题进行解答。将函数思想纳入到线性代数的题型探析中，通常也可以收获到较为优异的成效。

2 利用函数思想解答线性代数问题的方法

2.1 运用函数思想解决线性代数问题的具体办法

高中线性代数中囊括了行列式、线性方程组、矩阵、线性变化、空间小向量等知识点，关于线性代数问题中函数思想的解题应用，大致可以归纳为以下几个方面。

第一，关于函数思想在方程式中的解题。在此种题目中主要为通过已知量来求解未知量，并且这种描述方式是较为直接的数式形式。要解答这类问题首先要将函数式看作零的数量，然后再对该已知数量进行转化，从而让数式转化为方程或方程组形式。接着在简化方程的基础上，再结合函数图像便可以快速解答出该问题。例如，在对移项简化之后获得的方程式为lgx=2-1，根据该方程式建立起坐标系并画出图像走势，再将相交的点相加便可以得出答案。

第二，在列式中的解题也是通过对变量的变化规律展开研究，利用函数图像对数的分布情况进行描绘，从而得出列式的曲线图。需要注意的是，由于数列均为整数点位，所以在取点的过程中也通常提取离散点，所以图像也并非为连续性的。

第三，在不等式问题上的解答。函数思想中具有的明显特征极为函数具有值域，而这边与不等式的解题达到了相互契合的效果。通过画出函数图像，能够轻易地画出函数的区间，而区间所代表的范围即为不等式的求解范围。例如，对于不等式变量的求解在x∈[0,6]，那么在函数图像上的表示则为x∈(-∞,-1)∪(6,+∞)。

2.2 结合实例对线性代数函数解题方法的分析

第二，利用函数的图像性质来解答题型。例题2，已知直线L过原点，并且抛物线C顶点在原点上，其焦点在x轴的正半轴，假设点A（-1，0）与点B（0,8）都关于L的对称，并都在点C上，现求直线L及抛物线C的方程。可通过待定系数法来解决这类问题。首先，根据题干设直线L为y=kx(k≠0),并有C为y2=2px(p>0)。设A、B关于L的对称点分别为A，B并代入到抛物线上消除点p，便可以得出k2-k-1=0，从而求得从中便可以得出直线L的方程又可以表示为，所以抛物线C的方程式则为:。

第三，求曲线的轨迹方程也可以利用函数思想进行解答。以下图1为例，已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆C:x+y=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|

的比等于常数e(e>0),现求动点M的轨迹方程并说明它是什么曲线。

图1

要解决这一问题，需要结合函数思想，通过对圆锥曲线中最值范围、常用代数法、几何法等有着熟悉的掌握。当命题中的条件与结论具备几何特征时，则可凭借图形性质来解决。假设条件同结论展现了函数的关系式，那么则应当建立目标函数，再对利用二次函数、三角函数、均值不等式等进行求解。从上题中不难看出，通过对点M的集合的求解，并将坐标点代入到切圆之中，便可以得出当e表示直线时其值的大小，并最终证明该曲线为圆形。