2017年高考坐标系与参数方程试题分析

罗佳倩

【摘要】由于2017年是四川省自主命题10年后，第一次使用全国卷，第一次做关于坐标系与参数方程的选做题，所以深入研究今年坐标系与参数方程的考点和解题特点，将对四川省今后关于这个专题的数学教学大有帮助.本文是以2017年高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷为例，对关于坐标系与参数方程试题进行分析和研究.首先，对坐标系与参数方程的内容做了简介；然后，分别对全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷关于这个专题的试题进行分析和总结，得出关于此专题的试题特点；最后，根据实际状况和专题特点，针对坐标系与参数方程的教学，给出实际的教学建议.

【关键词】坐标系；参数方程；试题分析；试题特点

一、引 言

坐标系与参数方程属于选修系列的第4个专题，包含“坐标系”与“参数方程”两个部分的内容.在高考题中，本专题所占分值大概是5～10分，近几年主要以选择题、填空题、解答题的形式出现，尤其是解答题的形式，所以这个专题是高中选修部分重要的教学内容之一.由于2017年是四川省自主命题10年后，第一次使用全国卷，第一次做关于坐标系与参数方程的选做题，所以深入研究今年坐标系与参数方程的考点和解题特点，将对今后的教学大有裨益.本文主要是对2017年数学高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷中坐标系与参数方程的试题进行分析和研究，然后在此基础上给出实用的教学建议.查阅资料发现，2017年文理科全国卷关于这部分的选做题都是一样的，所以就只选取2017年数学高考理科卷对关于这个专题的内容做深入的分析和研究.

二、2017年高考全国卷坐标系与参数方程的试题分析

（一）全国卷Ⅰ

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ，y=sinθ， （θ为参数），直线l的参数方程为x=a+4t，y=1-t，（t为参数）.

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a.

考点 本题主要考查的是椭圆和直线的参数方程的互化以及根据已知条件求未知参数的值.

试题分析 （1）可以用平方消元法和代入法分别将曲线C和直线l的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由题意知，直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，设C上的点为（3cosθ，sinθ），易求得该点到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.对a再进行讨论，即当a≥-4和a<-4时，求出a的值.

注意 化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法，等等.对于求未知参数的题，最重要的是找到等量关系，利用等量关系反解出未知数的值.

（二）全国卷Ⅱ

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

考点 本题的主要考查的是求动点的轨迹方程以及运用极坐标方程求三角形面积最值.

试题分析 （1）本题若直接从直角坐标入手，很难解决这个问题，但若换一个角度，从极坐标入手，用极坐标去表示点的P坐标会简单很多.由于点M在曲线C1上，则可得M点的极坐标为（ρ，θ），且点p在线段OM上，即点P的极坐标为（ρ1，θ），再利用|OM|·|OP|=16这个等式，即可得到轨迹C2的极坐标方程，最后利用极坐标与直角坐标的互化公式，就可得到轨迹C2的直角坐标方程.（2）首先，可利用极坐标公式将三角形相应的边表示出来，然后再选择合适的面积表达式去计算面积，根据式子的特点，得到最大值.

注意 本题重点考查了转化与化归能力，遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程.

（三）全国卷Ⅲ

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=2+t，y=kt， （t为参数），直线l2的参数方程为x=-2+m，y=mk，（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

考点 本题主要考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考点很常规，计算较为简便.

试题分析 （1）根据已知条件应先把两条直线的参数方程转化为普通方程，然后根据直线普通方程的特点，求解曲线C的普通方程.（2）可以先把直线l3化成普通方程，然后联立曲线C的普通方程，可得到交点M的坐标，从而求得极径，或可将曲线C的l3普通方程化成极坐标方程，联立曲线C和直线l3的极坐标解得M的极径.

三、2017年高考全国卷坐标系与参数方程试题特点

通过分析今年全国卷可知，坐标系与参数的考查仍然以直角坐标方程、参数方程和极坐标方程这三者的互化为主，有时还将它们与三角形、三角函数、距离、位置关系等结合起来考查.总的来说，全国卷考点是基础的、常规的，但是考查方式比较灵活，既考查了学生的理解能力，又能很好地检测学生关于这方面的掌握程度，具有很好的筛选功能，比如，全国Ⅰ卷的第二问，若不能灵活地运用点到直线的距离公式和三角函数的知识，根本算不出正确值；还有全国Ⅱ卷，如果不能熟练地掌握求动点轨迹的方法以及极坐标方程的实质，要直接得到轨迹方程是很困难的，对于它的第二问更需要学生灵活运用三角函数的知识和三角形面积公式，这很好地考查了学生思维的广度和知识的综合运用能力；而对于全国Ⅲ卷，难点在于第一问，要根据题中条件得到曲线的普通方程对于一些思维有局限的中等生和学困生就很困难.

四、教学建议

根据全国卷试题特点可知，本专题的考点主要集中在各类方程互化以及它们与其他知识的综合运用，考点常规，但方式灵活.所以我们教师在平常的教学中，首先应该重视坐标系与参数方程基础知识和方法的教学，并且在课堂上要多给学生做变式训练，避免学生形成定式思维，让同学们能够灵活地运用数学知识.其次，应该在教学中渗透坐标系思想，教会学生在不同坐标系解题，体会坐标系的优越性，进而引导学生选择合适的坐标系，优化解题方法.最后，我们应强调“数形结合”思想方法的运用，让学生的抽象思维和形象思维有效地结合在一起，这样在解决本专题的某些问题时，可以简化运算，使同学们做题更加快捷、顺畅.

【参考文献】

[1]张丹丹，林若兰.近几年坐标系与参数方程试题分析及解法[J].遵义师范学院，2014（12）：122-124.

[2]龚丽君.从新课程高考看《坐标系与参数方程》的教学与复习[J].新课程学习，2010（8）：101-102.

[3]黄硕士.高中数学的《坐标系与参数方程》教学研究[J].教学方法，2015（18）：7.

[4]闫琦.高中数学坐标系与参数方程问题探究[D].西安：西北大學，2016.endprint