读书三境界，交点三部曲

宋江红

【摘要】坐標法是解析几何的基本方法，曲线的交点坐标要不要计算应视具体问题而定，本文从三个层次对交点问题进行提炼，第一，具体交点，先设后求；第二，过程交点，设而不求；第三，曲线系交点，不设不求.

【关键词】曲线的交点；点差法；模块化处理；简化运算；直击目标

在数学解析几何问题中，曲线的交点问题是可以作为习题中的典型来说的，以此式子为例，曲线C1：f1（x，y）=0与曲线C2：f2（x，y）=0的交点就是方程组f1（x，y）=0，f2（x，y）=0 的实数解.但是，在平面解析几何问题中，遇到两点相交的问题，解出方程组求出交点坐标是唯一的解题方法吗？笔者根据自己总结出来的经验教训，列举出交点问题的三种境界.

一、“先设后求”，这就好像是武林界大师的第一层境界“心中有剑，手中有剑”

例1 现在已经知道探照灯的轴截面是抛物线y2=x，平行于x轴的光线照到抛物线上的点P（1，-1），反射光线经过抛物线焦点后又照射到抛物线上的Q点，请求出Q点的坐标.

解 设Q（x0，y0），则Q点是直线PF与抛物线的一个交点.由已知，抛物线的焦点F14，0，kPF=0-（-1）14-1=-43，直线PF：y+1=-43（x-1），

图1

解方程组y20=x0，y0+1=-43（x0-1），y0≥0，

得Q116，14.

此类问题已明示求交点的坐标，考查解析几何的基本思想方法，用代数方法解决几何问题，一般情况下通过方程组求出即可.通过解决这样的问题，对学生的运算能力及耐心细致的品质做出考查.

二、“设而不求”，这相当于武林界大师的第二层境界“心中有剑，手中无剑”

“设而不求”，看表面意思就可以知道就是根据题意巧妙设立未知数并不真正解出来，而是建立“未知”和“已知”之间的关系，然后进一步帮助我们解题.

（一）运用点差法解决解析几何的中点弦问题

例2 已知某条直线交椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）于A，B两点，线段AB的中点为C，请证明：kAB·kOC=-b2a2.

证明 设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）.

∵A，B在椭圆上，

∴x21a2+y21b2=1， ①x22a2+y22b2=1. ②

①-②得：x21-x22a2=-y21-y22b2，

整理得：y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-b2a2.

又∵y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，

∴y0-0x0-0·y1-y2x1-x2=-b2a2，

即kOC·kAB=-b2a2.

（二）利用韦达定理来实现模块化处理，达到简化计算目的

例3 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，椭圆C短轴的两个端点与它的长轴的一个端点正好构成一个正三角形.

图2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q，证明：OT平分线段PQ.

（解题过程略）

这种类型的问题在运算及推理的过程中，如果出现了像x1+x2，x1x2这样的结构，可以联系一元二次方程根与系数的关系来整体处理此类问题，从而可以达到简化运算过程的目的.

（三）运用同构式，从结构形式的统一性求直线方程，实现“设而不求”目的，大大减少计算量，优化解题过程

例4 过P（-1，-1）作抛物线C：x2=4y的两条切线PA，PB，其中A，B为抛物线C的切点，求直线AB的方程.

（解题过程略）

此类问题依据的是“两点确定一条直线”这一朴素事实，从结构上加以认定，从而避开计算，轻松获得问题的解决.又比如，在求两相交圆公共弦所在的直线方程时用的就是这种方法.

三、“不设不求”，这相当于武林界大师的第三层境界“心中无剑，手中无剑”

运用过两曲线交点的曲线系方程就能达到可以不求交点就可以达到终极目标.

我们先看课本一道习题.

题目已知两条曲线方程是f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1（x，y）=0+λf2（x，y）=0的曲线也经过点P（λ是任意实数）.

我们可以利用“过两曲线交点的曲线系方程”（不含f2（x，y）=0）解决过两曲线交点问题极其方便.

例5 求证：椭圆x220+y25=1与双曲线x212-y23=1的四个交点共圆.

证明 椭圆x220+y25=1，

即x2+4y2-20=0，

双曲线x212-y23=1，

即x2-4y2-12=0，

所以过椭圆及双曲线的交点的曲线（不含f2（x，y）=0）的方程为（x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0，

即（1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0.①

令1+λ+4-4λ≠0，得λ=35，代入①得x2+y2=17，即证椭圆与双曲线交点在同一个圆x2+y2=17上.

此类问题充分利用过两曲线交点的曲线系方程，解决与交点有关问题干净利落，直击目标，轻松解决问题，享受一份智慧的喜悦.

王国维在《人间词话》中提出：古今之成大事业，大学问者，必经过三种之境界.

“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境也.

“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境也.

“众里寻他千百度，蓦然回头，那人却在灯火阑珊处”，此三境也.

平面解析几何中的交点问题，本文提出“先设后求”“设而不求”“不设不求”三种层次，与王国维先生曾经提出的做学问三种境界有异曲同工之妙处.从这个角度来看，曲线的交点问题，体现了数学的意境之美.

【参考文献】

[1]陈卫光.例谈“设而不求”在解析几何中的运用[J].中学数学，2016（13）：84-85.endprint