导数在高中数学题目解答中的典型性应用分析

李丁+李永亮

【摘要】导数是高中数学中的重要内容，是微积分的初步知识，也是高考的热点.对导数的学习，有利于帮助学生更好地理解函数相关知识，提高学生的数学综合能力.因此，学生在学习高中导数相关知识时，要注重掌握其典型应用.本文通过实际的例子，对导数在高中数学题目解答中的典型性应用进行分析.

【关键词】导数；题目解答；典型性应用

导数与函数之间的联系十分紧密，如果学生掌握不好导数相关知识，就会影响函数知识的学习.导数不仅具有代数意义，还具有几何意义，在高中数学的许多类型题目解答中都有重要的应用.学生要熟悉导数的各种应用，才能够真正学好导数相关知识.

一、导数在求解最值中的应用

利用导数求解最值，是导数在高中题目解答中的典型性应用之一，在高考中常将导数与最值问题结合起来，对学生进行考查.所以，这类题型是学生必须掌握的.对于可导函数来说，导数是判断函数单调性的有力工具，而求解函数最值最根本的方法是利用函数单调性，因而，利用导数求解最值就是很自然的方法了.以江苏2010年高考数学第14题为例，将边长为1 m的正三角形薄片沿着一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=（梯形的周长）2梯形的面积，要求计算S的最小值.这道题表面考查的是函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想，但可利用导数方法求解最小值.设可剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S转化成用来x表示，并利用函数的观点解决.

二、導数在曲线求解中的应用

在曲线的求解中，导数的应用也十分典型，如求解曲线的切线方程.在解决这些问题时，要结合导数的几何意义和相关的定理，才能够找出正确的解题思路，从而帮助学生快速得到正确的答案.

比如，2010年北京高考理科数学第18题，已知函数 f（x）=ln（1+x）-x+k2x2（k≥0）.

（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间.

这道题的切点在曲线上，是求“在某点”的切线方程.

三、导数在不等式求解中的应用

不等式是高中数学教学中的难点，在传统的不等式证明方法中，具有非常强的技巧性，许多学生难以真正掌握这些方法.并且，不同类型的不等式证明没有通性通法，利用导数证明不等式会更加容易.导数在不等式求解中的应用，一般是对不等式进行证明，通过对函数的构造进行分析，判断函数的单调性，从而使不等式得到有效的证明.

四、结束语

综上所述，导数与高中数学中的许多知识点都存在一定的联系，特别是在求解最值问题、曲线方程问题、不等式证明问题时，都可利用导数知识进行解答.所以，通过分析历年高考数学题目可知，学生要牢固地掌握导数相关知识，才能够灵活运用导数知识求解，并提高学生对数学知识的应用能力，最终促进学生数学综合能力的发展.

【参考文献】

[1]盛星衡.例析导数在高中数学题目解答中的典型应用[J].课程教育研究（新教师教学），2016（29）：282.

[2]姜才文.导数在高中数学函数中的应用体会[J].文理导航（下旬），2016（7）：28.

[3]周萍.论导数在高中数学中的应用[J].神州（上旬刊），2013（7）：163.endprint