微元法的应用

沙婵娟

【摘要】微元法是分析和解决数学、物理问题的常用方法，它是采用“化零为整”的思想，通过极小部分分析整体.本文采用微元法计算了不同形状物体所受水压力.只要物体的质心坐标确定，便可通过微元法快速准确地计算出其所受的水压力.

【关键词】微元法；质心；水压力

一、引 言

微元法是解决很多数学和物理问题的常用方法，这是一种深刻的思维方法，是对某事件做整体的观察后，先分割逼近，找到规律，再累计求和，最终了解整体.

微元法解题的一般步骤：

第一步，取元.分割选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象.

第二步，模型化.将微元模型化（如，视作点电荷、质点等），求解这个微元.

第三步，做积分.以找到的微元（近似值）为被积表达式，在分割区域上做相应的积分.

二、分析物体所受水压力

（一）细棒所受水压力

长度为a的均匀细棒水平放置于深为h的水中，细棒所受压力F=p·a=gh·a.

问题 若细棒铅直放置在水中，水深不同的各点处压强p不同，细棒所受压力无法用上述方法计算.

分析 当木棒铅直放入水中时，木棒各点所处深度不同，所以不能按一点处的深度去计算水压力，整体无法处理，所以选择微元法化整为零.

解 分三步走：

1.选取木棒所在铅直位置作为x轴，x为积分变量，它的变化范围[h，h+a].

2.在[x，x+dx]处寻找积分微元：dF=ρgxdx.

3.F=∫h+ahgxdx.

对求得的水压力进行分析：

F=∫h+ahgxdx

=ρg∫h+ahxdxaa（令x′=∫h+ahxdxa=h+a2）

=ρgx′a，

其中x′恰為细棒的质心所在.

试想：将此细棒水平放在质心所在高度的水中所受到的水压力F′=ρgx′a.

结论：F=F′.

（二）平板所受的水压力

将一面积为A的均匀平板铅直完全放入水中，求平板一侧所受水压力F.

问题 平板铅直放入水中，形状不确定，如何计算一侧所受的水压力.

分析 平板铅直放入水中，并且形状不均匀，所以无法整体处理，用微元法，将其分割成若干小块，把每一小块看成点去得到近似后，再去求解整体的水压力.

解 分三步：

1.选平板面积为积分变量，变化范围就是平板所占区域D.

2.分割平板所占区域D，在D中任取一小块dσ，dσ上任取一点（x，y），dF=（H-y）ρg·dσ（压力元素）.

3.因此，F=DdF=D（H-y）ρgdσ.

平板的质心和所求得的水压力之间的关系分析：

平板的质心纵坐标为y′=1ADydσ；

质心到水面的距离为H-y′；

若把平板水平放置在深度为H-y′的水中，则平板所受压力为

F′=ρg（H-y′）A=ρgAH-1ADydσ

=ρgHDdσ-Dydσ=ρgD（H-y）dσ=F.

结论：

（1）长度为a的均匀细棒，铅直放入水中所受的水压力等于把它水平放置在质心深处所受的水压力.而面积为A，铅直放入水中的均匀平板一侧所受的水压力等于把它水平放置在质心深处平板一侧所受的水压力.

（2）只要细棒的质心或者平板质心到水面的距离确定，则平板所受的水压力就可确定.

（3）以上的方法只考虑了细棒的长度或者平板的面积以及质心的位置，所以该法对不是铅直放入水中的物体也成立（例如，斜插）.

（三）相关例题

例1 求长为2 m，宽为3 m，距离水面2 m的均匀矩形平板一侧所受的水压力.

解 平板的面积为A=2×3=6；

质心到水面的距离为d=3.5；

所受压力为F=ρg×3.5×6=21ρg.

例2 边长为a和b的矩形薄片，与液面成α角，斜插入液体内，长边平行于液面，位于水深h处，设a>b，液体密度为ρ，试求薄板一侧所受的水压力.

解 平板面积为A=a·b；

质心到水面的距离为D=h+12bsinα；

因此，水压力F=h+12bsinαρg·a·b.

三、结 语

本文的这种方法可以应用到很多物理问题的解决当中，比如，求不均匀细棒的质量、物体对轴的转动惯量等都可以通过质心求得.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014：274-276.

[2]黄立宏.高等数学[M].上海：复旦大学出版社，2012：195-197.

[3]孙娜，蔡文香.微元法应用及其研究[J].数学学习与研究，2009（10）：90-91.

[4]胡承望.微元法的应用研究[J].长江大学学报（自科版），2008（3）：142-143.