基于最近发展区的一元二次方程的解法（第一课时）课例分析

刘其虎

苏联著名教育家维果斯基认为，儿童至少要确定两种发展水平.一种是现有的（或当前的）发展水平，指的是儿童在完成一定发展程序的基础之上所形成的心理发展水平，表现为儿童能够独立地解决问题；另一种是潜在的（或未来的）发展水平，即儿童可能完成的发展水平，表现为儿童不能独立地完成需要解决的任务，但在教师或成人的帮助下，通过模仿和努力所达到的解决问题的水平，也是通过教学所获得的潜力.最近发展区指的是这两者之间的差距，即儿童现有的发展水平与经过他人的帮助可以达到的较高水平之间的差距.

基于最近发展区的理论，笔者对苏科版解一元二次方程第一课时进行如下教学设计和分析.

一、教学流程与解读

环节1 经历回顾并提出问题的过程——明确研究问题.

师：我们以前学过的一元一次方程研究过哪些内容？

生：研究了一元一次方程的概念、解法和应用.

师：在以上的研究基础上，我们现在已经研究了一元二次方程的概念了，接下来可以研究什么了.

生：可以研究一元二次方程的解法及应用了.

师：好的，我们已经会解一元一次方程、二元一次方程组和分式方程，那么像解二元一次方程组和分式方程一样，能否将一元二次方程转化为一元一次方程求解呢？本节课就来研究一元二次方程的解法.

设计意图：进一步明确对一元二次方程整章的知识内容，明确一元二次方程的解法是要转化为一元一次方程，并揭示本节课课题.

环节2 复习平方根，复述平方根的定义.

（1）填空：9的平方根是；81的平方根是；7的平方根是.

（2）平方根的定义是什么？

设计意图：设计本环节是为了帮助学生理解本节课的直接开平方法的依据就是平方根的意义，抓住学生的知识生长点，有利于学生更好地理解直接开平方法是从哪里来到哪里去.

环节3 初探解法.

师：根据以上所复习的内容，你认为自己能解一些一元二次方程吗？请举例并说明解法.

生：x2=4，x=±2.

师：为什么这个方程的解是x=±2？

生：因为x2=4，x是4的平方根，所以是±2？

师：规范写法，x1=2，x2=-2，还能再举难度稍大的一元二次方程吗？

生：4x2=16，5x2-10=0.

师板书规范解答过程.

师：观察、思考以上解答过程，谁能说说这种解法的依据是什么？

生：依据是平方根的意义.

师：所以我们给这种方法取个名字可以叫什么呢？

师板书课题：直接开平方法.

设计意图：抓住学生已经会解一些简单的一元二次方程这一“最近发展区”，鼓励学生自己举例并说明方法，相对于教师抛出的问题，学生会更有求知的冲动和欲望，打破教师提出问题的常规，同时揭示本节课的解法及依据.

小结：由原题得到x+2=3，x+2=-3，这一步的依据是什么？这两个方程是什么方程？

师：解一元二次方程的基本思想是把二次降为一次，体现的是转化思想，就像二元一次方程组和分式方程都要转化为一元一次方程一样.下面你们能继续自己举一些一元二次方程来给大家解解看吗？

生：2（x-2）2=8.

生：3（x-2）2-9=0.

师再出示方程：（2x-3）2=（2-x）2.

师出示方程：x2=-4，（x+2）2=-3.

师：这两个方程会解吗？

生：不能解.

师：为什么不能解？

生：因为任何一个数的平方不能为负数，负数没有平方根.

师：所以通过这两个一元二次方程我们可以认识到什么？

生：并不是所有的一元二次方程都有解.

师：不是所有的一元二次方程都有实数根，那么什么样的一元二次方程有实数根，什么样的一元二次方程无实数根呢？我们以后会专门研究这个问题.

设计意图：通过先由教师抛出问题再由学生自己提出问题，得出形如a（x+k）2=b（a，k，b为常数，a≠0）的一元二次方程的解法，并和二元一次方程组和分式方程联系起来，帮助学生认识到解一元二次方程的基本思想是降次，是转化为一元一次方程.

环节4 课堂小结.

对照下列问题清单回答：

（1）本节课主要学习了用什么方法解一元二次方程？这种方法的依据是什么？

（2）請你再举几个能用直接开平方法解的一元二次方程.

（3）通过本课学习，你对解一元二次方程有什么认识？

设计意图：通过本环节，帮助学生进一步理解直接开平方法解一元二次方程的数学依据和要注意的一些问题，并认识到有的一元二次方程可能无实数根.

二、教后反思

1.课堂教学要找准学生“最近发展区”.基于最近发展区的理论，笔者认为，本节课是解一元二次方程的第一课时，学生已经具备的发展水平是一元二次方程的概念、一般形式和平方根的概念、一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法，教师要从学生的认知水平和心理发展特征出发，利用学生强烈的好奇心和求知欲，引导学生自己提出认为会解的一元二次方程，从易到难，从简单到复杂，主动建构用直接开平方法解一元二次方程的知识结构，基础较好的班级甚至可以跨越到用配方法、因式分解法解一元二次方程.

2.做到“三个理解”.近年来章建跃博士提出的“三个理解”（即理解数学、理解学生、理解教学）在一线教师中产生了广泛的影响，笔者也深受启发，在本节课的教学预设时，理解和本节内容相关的知识背景，理解本节课的教学目标和重难点，充分考虑学生已有的认知经验、学习基础，以“学”定问，从复习引入、探究新知、课堂训练、归纳小结几方面入手，利用学生自己提出的简单的已经会解的一元二次方程入手，由易到难，真正以学生为主体，不断激发学生的学习热情和学习能力，把难点放在探究形如a（x+k）2=b（a，k，b为常数，a≠0）的一元二次方程的解法上，并培养学生的分类思想.

3.对于本节课，笔者有一个大胆的设想，可以打破教材安排，可根据学生举的其他能用因式分解法或配方法的一元二次方程，如果班级学生整体水平较高，可把直接开平方法、配方法、因式分解法进行适当整合来教学，当然这还是一个设想还没有实行过.