基于数学史观的课堂教学设计

朱正新

【摘要】数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育，而数学史是数学文化的一种载体.在数学课堂设计上融入数学史，彰显数学文化价值，提高教学质量，逐步受到广大教育工作者的认可，实属数学教育改革又一尝试，更好地促进学生学科核心素养的培育.

【关键词】数学史观；教学设计；核心素养

一、引 言

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势，应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用逐步形成正确的数学观.数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育，在当今课堂教学中，要注重数学史与数学教育有机融合帮助学生感受数学文化和数学价值，形成正确的数学观.

二、基于数学史观的课堂教学设计案例

以苏教版“分数指数幂”为例.

（一）问题情境，引入课题

师：同学们，通过生物课的学习，我们知道细胞会分裂，如果某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10分钟，那么，1个细胞1小时后分裂成多少个细胞？

假设细胞分裂的次数是x，相应的细胞个数为y，那x与y的关系式是什么呢？

生1：y=2x.

师：当x取6时，y=64，说明什么？

生2：一个细胞一小时后分裂为64个细胞.

师：那式子2x中，x是否能取0，负整数甚至分数、无理数呢？为了解决上述问题，我们就要先来探讨分数指数幂的意义.

设计意图：以问题为驱动，激发学生原动力.本节课的情境设置着眼于学生的最近发展区，以学生熟悉的问题去研究新的问题，制造强烈的认知冲突，从而引发学生积极思考，同时让学生感受数学自身发展的一般规律.

（二）探索新知，猜想释疑

师：我们初中已经学习过平方根和立方根的概念，那请同学们回忆一下什么是平方根和立方根？

生3：如果x2=a，那么x称为a的平方根；如果x3=a，那么x称为a的立方根.

师：有几个？

生4：平方根有两个，立方根只有一个.

师：如果xn=a（a≠0），怎么用符号表示x？

一般地，若xn=a（n>1，n∈N*）则x叫作a的n次方根，na叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数.

例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为5-32，那16的4次方根呢？

生5：416.

师：有没有不同意见呢？再细致地思考一下！

生6：16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反.

設计意图：提高学生解决问题的能力的关键是让学生能够透视问题的本质.每一个陌生问题的解决都需要转化为熟悉的模式来求解.通过创设问题，帮助学生重塑知识结构，发展学生的创新意识.

（三）知识构建，深度理解

师：很好.那由此可知，对于xn=a（n>1，n∈N*），a的n次方根x有几个？

生7：要分n的奇偶进行讨论.

师：很好，那能具体表示出来吗？

生8：当n为奇数时，x=na，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.

当n为偶数时，x=±na，正数的n次方根有两个（互为相反数）.

师：非常好，需要注意的是，负数没有偶次方根，0的任何次方根为0.

当a≥0时，na≥0，表示算术根，所以类似416=2的写法是错误的.

知识链接：分数指数幂的发展历程.

14世纪法国数学家奥雷姆（N.Oresme，1323—1382）在《比例算法》（约1360年）中，分别用1 p2 2和1 p 14 2 2来表示2和4212，用我们今天的记号来表达就是212=2，21214=4212.由此可知，奥雷姆已经知道方根与分数指数幂之间的关系.

16世纪德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel，1487—1567）在《整数算术》（1544年）中，将幂指数从非负整数推广到负整数，建立了如下表所示的指数和幂之间的对应关系——用我们今天的记号来表达，就是2-n=12n.这是历史上负整数指数幂的最早使用.但是，斯蒂菲尔没有将幂指数推广到分数的情形.

指数n…-3-2-10123…

幂2n…1814121248…

16世纪比利时数学家斯蒂文（S.Stevin，1548—1620）在《十进算术》（1585年）中，将分数写在圆圈内，表示一个未知数的分数指数幂.17世纪荷兰数学家吉拉尔（A.Girard，1595—1632）在《代数新发明》（1629年）中，将分数写在一个数的前面，表示这个数的分数指数幂；而将分数写在一个数的后面，表示这个数为系数，后面乘未知数的分数指数幂.奥雷姆、斯蒂文和吉拉尔如何发现方根与分数指数幂之间的关系，并无文献记载，但他们以正整数指数幂为出发点，殆无疑问.

17世纪英国数学家沃利斯（J.Wallis，1616—1703）在《无穷算术》（1655年）中给出负数指数幂和分数指数幂的运算，从而将正整数指数幂的运算律推广到了任意有理数指数幂.

17世纪，牛顿（I.Newton，1643—1727）在其通信（1676年）中，用a12，a32，a53等表示a，a3，3a5等，用a-1，a-2，a-3等表示1a，1a2，1a3等，这就是我们今天所使用的记号.

18世纪，欧拉（L.Euler，1707—1783）在《代数基础》中，用类比的方法来引入分数指数幂：因为a2的平方根为a，a4的平方根为a2，a6的平方根为a3，等等，可知平方根应为同底数的幂，指数折半，所以a的平方根应为a12，a3的平方根应为a32，等等，这里，平方根均指算术平方根，a>0.类似地，可考虑更高次方根.

设计意图：以数学文化发展史为载体，更好地融合数学课程体系，有利于拓展学生的视野，用数学发展的眼光看待数学发展的一般规律，提高学生的数学核心素养.

（四）回顾反思，总结升华

师：通过这节课的学习你得到什么启示和收获？谈谈你的感受.

生9：幂的运算性质可以从整数指数推广到有理数指数，再推广到实数指数的形式.

生10：用分数指数表示根式的目的是为将根式运算转化为指数运算.

生11：amn是nam的一种新的写法，分数指数幂与根式表示相同意义的量，只是形式上的不同而已，分数指数幂和整数指数幂的运算性质是一致的.

师：同学们的总结很到位.

三、结 语

现代数学课堂教学不仅要传授数学知识与技能，更要注重学生学习过程中对数学发展史、数学文化的认识以及在数学学习过程中所表现出来的情感、态度、价值观，全面提高学生数学素养，更好地落实立德树人的育人目标.数学史观下的数学课堂，可以较好地促进这些目标的达成.例如，在研究分数指数幂的定义时，从知识与技能层面上可以让学生学习到分数指数幂的概念及性质；从过程与方法层面上，让学生在历史发展进程中，体验分数指数幂的由来，激发学生求知欲，感受分数指数幂产生的必然性和数学发展的自然性；从情感、态度和价值观的层面上，通过数学探究，让学生切身体会到分数指数幂产生的价值，培养学生积极思维的数学品质.因此，在数学课程中，有机融合数学史能够有助于更好地开展教学，促进课堂教学改革深入发展.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]鲍建生，周照.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2014.

[3]朱哲，宋乃庆.数学史融入数学课程[J].数学教育学报，2008（4）：11-14.