利用矩阵方程组探究三矩阵乘积的相似性条件

吴慧卓

【摘要】本文分析了矩陣相似的定义与矩阵方程组解的存在性间的关系，在此基础上进一步提出并论证了三矩阵乘积的相似性条件.

【关键词】矩阵相似；矩阵方程组；矩阵乘积

一、矩阵相似的定义[1]

设A，B为两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B是相似的，记作A～B.

二、矩阵相似与矩阵方程组解的存在性间的关系

根据矩阵相似的定义，

P-1AP=BA=PBP-1.（1）

若令BP-1=Q，则可以把等式A=PBP-1写成如下的矩阵方程组的形式

PQ=A，QP=B.（2）

从而，在矩阵A，B可逆的前提下，A～B等价于方程组（2）存在非奇异解.

三、三矩阵乘积的相似性问题

受上面分析的启发，下面探究在可逆的条件下，三个矩阵A，B，C的乘积ACB与BAC相似的条件.

考察矩阵方程组

PQ=A，QR=B，RP=C，（3）

则ACB=PQRPQR=P（QR）（PQ）（RP）P-1=P（BAC）P-1，

所以ACB～BAC.

同理，有BAC～CBA.

又因为等价具有传递性，所以ACB～BAC～CBA.

此外，ACB=PQRPQR=（PQR）2，若记Γ=PQR，

则ACB=Γ2.

假设矩阵ACB有n个互不相同的特征值，λ1，λ2，…，λn（λi≠λj，i，j=1，2，…，n），则必存在n阶可逆矩阵H，使得ACB=HΛH-1，其中Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），H为以这些特征值对应的特征向量为列构成的矩阵[2].

又因为ACB=HΛH-1=HΛ12H-1HΛ12H=（HΛ12H-1）2，

对比ACB=Γ2，从而有Γ=HΛ12H-1.

它完全由矩阵ACB的特征值和特征向量来决定.

从而，可以得到方程组（3）的如下形式解：

Γ=PQRΓ=AR，Γ=PBR=A-1Γ，P=Γ-1B，

Q=P-1A=B-1ΓA.

四、结 论

如果三个非奇异矩阵A，B，C的乘积ACB有n个互不相同的特征值，且当矩阵方程组（3）存在非奇异解时，ACB～BAC～CBA.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.工程数学·线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007：121.

[2]魏战线，李继成.高等数学基础·线性代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2010：216.