由一类级数问题拓展得收敛定理

熊择正 胡琼

【摘要】在现行的高等数学教材中，对级数敛散性判别的介绍主要集中在有具体表达式、递推关系或不等式关系的级数中，而对已知性质较少的抽象级数研究甚少.本文将通过一个具体例子来引出一类抽象级数敛散性判别的定理，希望能为相关问题的研究提供可借鉴的方法与思想.

【关键词】抽象级数；敛散性；函数

一、问题的提出

在文献中常出现类似这样的一个级数问题，即在正项级数∑nan收敛的条件下，∑nann+pn（p∈N+）是否收敛.在流行的高等数学教材中所介绍的半径判敛法等普通方法无法处理这类抽象级数的问题，而要应用比较判敛法也很难找到合适的级数与之进行比较，下面我们引入一个定理，再解决此类问题.

二、定理及其证明

定理 若f（n）为关于n的任意一恒正函数，并满足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，那么对于任意正项收敛级数∑nan，必有∑naf（n）n收敛.

证明

由于关于an的已知条件只有an>0以及∑nan收敛，那么自然想到用集合的方法进行处理.现设集合

M={n|n满足an，f（n）1，K∈Z}.

若n∈M，则∑naf（n）n显然收敛.

以下研究nM的情况：

若nM，则有af（n）n≥Kan，

即有|f（n）|<1，且an≤K1-f（n），

亦即af（n）n≤K-f（n）1-f（n）.

而根据假设，有

limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，

亦即

∑nMK-f（n）1-f（n）

收敛，所以

∑nMaf（n）n

收敛，两部分合二为一即得

∑naf（n）n

收敛.

若f（n）≥1，则∑naf（n）n显然收敛.

证毕.

三、结 论

根据上述判别定理，第一部分中提到的问题属于f（n）=nn+p（p∈N+）时的特殊情况，显然迎刃而解：由于 limn→+∞nn+p1-nn+p→+∞，因此，级数∑nann+pn（p∈N+）收敛.这里我們再提出一个类似的定理：若limn→0an=0，∑nan发散，且f（n）为满足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞和f（n）>1的任意函数，则∑naf（n）n也一定发散.证明方法和第二部分中定理的证明非常类似，感兴趣的读者可以进一步证明该定理.

由于本文中证明的定理对an和f（n）都没有具体形式的要求，因此，该定理的适用范围较广.我们希望通过这两个定理的引入，为相关级数问题的研究提供新的视角与方法.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.