二元函数极限的一种简便求法

李丽红

【摘要】本文中利用一元函数的极限求解二元函数的极限，从而使二元函数的极限求解简单化.

【关键词】一元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶

二元函数的极限存在，是指点P（x，y）以任何方式无限趋于点P0（x0，y0）时，函数都趋于同一个数值A，这与一元函数的极限定义有着相同的形式.所以二元函数的极限也可以利用“夹逼定理”“无穷小乘有界量”的方法来解决，但是有些问题利用这种方法不易求解，本文给出一种方法将二元函数的极限转化成一元函数的极限，这样二元函数的极限求解就变得简单多了.

定理 （1）设函数f（x，y）在U（x0，y0）内有定义，lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=A.

（2）函数y=φ（x）在U（x0）有定义，且 limx→x0φ（x）=y0，

则 lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=limx→x0f（x，φ（x））=A.

证 ε1>0，取ε1=δ2，则当0<|x-x0|<δ2，有

|y-y0|<ε1.

δ>0，ε>0，当0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ，

即（x，y）∈U0（x0，y0）时，总有

|f（x，y）-A|=|f（x，φ（x））-A|<ε

成立，所以

lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=limx→x0f（x，φ（x））=A.

证毕.

类型一 求二元函数的极限

例1 当（x，y）→（0，0）时，下列四个命题正确的是（ ）.

① xy是x2+y2的高阶无穷小量；

② xy是x2+y2的同阶无穷小量；

③ x2y是x2+y2的高阶无穷小量；

④ （x2+y2）2是xy的高阶无穷小量.

A.①② B.②④ C.③④ D.①③

分析 ① 设当x→0时，y=φ（x）→0是关于x的α阶无穷小量.

xy是关于x的α+1阶无穷小量.

当α≥1时，

x2+y2是关于x的1阶无穷小量（α+1>1）；

当0<α<1时，

x2+y2是关于x的α阶无穷小量（α+1>α）.

综上所述，xy是x2+y2的高阶无穷小量.

同理：

② x2y是x2+y2的高阶无穷小量；

③ 当α≥1时，

（x2+y2）2是关于x的4阶无穷小量.

α=3时，xy是（x2+y2）2同阶無穷小；

α>3时，xy是（x2+y2）2高阶无穷小；

α<3时，xy是（x2+y2）2低阶无穷小.

当0<α<1时，

（x2+y2）2是关于x的4α阶无穷小量.

α=13时，xy是（x2+y2）2同阶无穷小；

α<13时，xy是（x2+y2）2高阶无穷小；

α>13时，xy是（x2+y2）2低阶无穷小.

同理：

④ xy与x2+y2随着α取值不同，无穷小的关系也不同.

答案选D.

类型二 用于如何选择特殊的路径证明二元函数极限不存在

例2 求lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y.

分析 设当x→0时，y=φ（x）→0是关于x的α阶无穷小量.

x2y2是x-y的高阶无穷小量（除y=φ（x）～x外）.

若y=φ（x）～x，令y=φ（x）=x+kx4（此时，x2y2是关于x的4阶无穷小量）.

lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y=lim（x，y）→（0，0）x2（x+kx4）2x-x-kx4=-k.

此极限会随着k的取值不同而不同，所以 lim（x，y）→（0，0）x2y2x-y不存在.

用这类方法不同路径的选择变得容易很多，此类思想还可以用于分析函数在一点处的其他性质，例如极值点.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007：54-64.

[2]张天德，蒋晓芸.吉米多维奇高等数学习题集[M].青岛：山东科技出版社，2007：245-247.

[3]陈仲.高等数学竞赛解析教程[M].南京：东南大学出版社，2009：165.