Holder连续函数空间的插值空间的不等式

邢家省， 杨义川

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191)

引言

Holder连续函数空间是一类重要的函数空间[1-10]，在偏微分方程[1-8]和泛函分析[9-21]的研究中得到广泛使用。Holder连续函数空间的完备性[1-8]，嵌入的空间和紧嵌入的空间都得到充分的研究[1-10]。

Holder连续函数空间的嵌入空间和紧嵌入的空间，在文献[1-8]都是分别进行的，没有形成统一的理论方法。本文在文献[1-8]的基础上建立了Holder连续函数空间的插值空间不等式这一结果，并将这个结果应用于Holder连续函数空间的嵌入的空间和紧嵌入的空间，对分散的经典结果给予系统的明确改造，表现学术发展，推进学术认识。

1 Holder连续函数空间

CB(Ω)是由定义在Ω上的有界连续函数全体组成。类似地可以定义

∀x,y∈Ω,0≤|α|≤m

这里K是常数，它可以依赖于函数

中元素f的范数由等式

证明设

定理2设0

(1)对任意实数x≥y≥0，成立xp-yp≤(x-y)p；

(2)对任意实数u,v，成立

|f(x)-f(y)|=|(|x-x0|λ-|y-x0|λ)|≤

显然

显然，对每一x∈Ω，有

|f(x)|≤|f(x)-fN+1(x)|+|fN+1(x)|≤

可知，f(x)在Ω上有界；再由fN+1(x)在Ω上一致连续，对上述ε>0，存在δ>0，当x,y∈Ω且|x-y|<δ时，成立|fN+1(x)-fN+1(y)|<ε。于是

|f(x)-f(y)|≤|f(x)-fN+1(x)|+

|fN+1(x)-fN+1(y)|+|f(y)-fN+1(y)|<3ε

定理3的结果，在文献[1-8]都有涉及，但给出证明表述的仅在文献[6]中出现。

∀x,y∈Ω,x≠y,n∈N*

令n→∞，取极限，得

中，令m→∞，取极限，得

|f(x)-fn(x)|≤ε

∀x,y∈Ω,x≠y

证明[1-8]由不等式

4 Holder连续函数空间的插值空间不等式

∀x,y∈Ω,x≠y

得

故成立

定理10的结果表述在文献[1-8] 不是明确单独出现的，尽管在文献[1-8]中的定理证明过程中出现了这种估计不等式，但都没有被认识到它的独立表述结果意义。

定理11[2,4]设Ω是Rn中的开集，0<λ<μ≤1，则有

证明[2,4]设

显然

得

A1A2+B1B2≤

定理11仅出现在文献[2,4]中，虽然文献[2]出现很早，但没有充分认识到定理11的深刻有效性，没有利用定理11去改进相关结果的证明。这也说明了定理10不曾在文献[1,3,5-8]出现的原因。

5 Holder连续函数空间的嵌入和紧嵌入的证明

证明利用定理10或定理11的结果，即可得到。

定理12的结果在文献[1-8]中都是给出相同的原始证明过程，这些过程不能导致定理10和定理11的发现。

定理13结果的证明，在文献[1-8]中有，但都没有意识到从中可以单独提炼出定理10或定理11的结果。在文献[2,4]中出现定理11，但也没有认识到可以用来证明定理12和定理13。这里给出的明确认识改造过程，建立知识捷径道路，推进学术认识发展。

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