基于共轭Lorenz系统的新三维混沌系统研究*

袁 玉 娇

(华南理工大学 数学学院，广州 510640)

0 引 言

混沌在动力系统中是一个非常普遍的现象，很多学科领域都出现了混沌。从电子工程中的混沌Chua电路，到天体力学中的三体问题，以及生态学中的分岔现象。混沌理论完美地把确定论和概率论两大理论体系连接了起来，混沌学被誉为是20世纪继相对论及量子力学后又一次最大的革命。

自从1963年Lorenz[1]在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子，Lorenz系统被认为是第一个把混沌抽象出来的数学模型，在混沌学的发展中具有举足轻重的意义，是混沌学发展史上的一个重要里程碑。

五十多年来，混沌理论已经成为科学研究中一个重要部分，对混沌的研究已经成为现代非线性科学最核心的研究课题之一，混沌分析和混沌控制已经广泛地在动力系统中被研究，混沌现象在自动控制、信息科学、通信技术以及其他工程领域获得了广泛应用。一个有限维自治混沌系统就是一个非线性确定性系统，在混沌理论发展和应用的过程中，它能表现出复杂的、不可预测的动力学行为。

1900年，陈关荣[2-3]提出了一个新的混沌系统，这个系统在某个参数条件下，可得到一个与Lorenz吸引子非拓扑等价的吸引子，此系统后被称为Chen系统[2-3]。具有多个二次项的三维自治混沌系统对于研究分岔、极限环和混沌流有非常重要的作用。1997年，ZHANG F与HEIDEL J[4-5]研究了一个等号右边带有4个二次项的常微分系统，并在1999年把结果推广到三维的保守二次系统。2002年，吕金虎等[6]发现了介于 Lorenz系统和Chen系统之间的新三维自治混沌系统，后被称为Lü系统。2008年，杨启贵与陈关荣[7]提出了一个新的系统，不同于Lorenz、Chen和Chua系统等，该系统有一个鞍点和两个稳定的结焦点，是连接Lorenz系统和Chen系统的桥梁，此系统被称为Yang-Chen系统或Yang系统。

近几年里，随着对三维微分动力系统研究的深入，许多新的带有复杂动力学行为的三维混动力系统被提出。现基于共轭Lorenz混沌系统，利用反馈控制技术， 分别在共轭Lorenz系统的第一个方程和第二个方程加上非线性控制项，由此提出了一个具有4个参数、3个二次项的新三维自治混沌系统。通过对系统的深入分析，研究了该系统的动力学性质，分析系统的耗散性与平衡点，利用中心流行定理，讨论新三维自治混沌系统在双曲与非双曲平衡点O的稳定性;进一步讨论了新系统的全局动力学行为，通过相图、Lyapunov指数、分岔图等途径，利用数值分析验证系统的混沌吸引子及周期吸引子的存在性。适当选取系统的参数，对新三维自治系统的混沌、周期等复杂动力学行为进行研究。

1 新三维自治混沌系统的提出

共轭Lorenz系统[8-10]如下：

(1)

其中，a>0，b>0，c+d<0。

特别的，当系统式(1)的参数取a=15，b=8/3，c=-1，d=-28时，系统式(1)的Lyapunov指数为

L1=0.904 1
L2=0.000 0
L3=-13.039 2

此时系统式(1)存在混沌吸引子，其相图如图1所示。

图1 系统式(1)的混沌吸引子：(a，b，c，d)=

利用反馈控制技术，在共轭Lorenz系统式(1)第一个方程加非线性控制项a(y-z)-yz，在第二个方程加上线性控制项-2dy，得到一个新三维系统：

(2)

其中，参数(a，b，c，d)∈R4并满足bcd≠0。该系统具有4个参数与3个二次项。

O(0，0，0)

其中，

当a∉Ω时，新三维系统式(2)只有一个平衡点：O(0，0，0)；另外，新三维系统式(2)的散度为

当满足条件a

当新三维自治系统式(2)的参数取(a，b，c，d)=(5，16，3，4.6)，系统式(2)存在混沌吸引子，其相图和Poincaré映射图分别如图2和图3所示。

(a) x-y-z相图

(b) x-y二维投影图

图3 系统式(2)混沌吸引子的Poincaré映射：(a，b，c，d)=(5，16，3，4.6)

经过计算，此时系统式(2)所对应的Lyapunov指数为

L1=1.396 5
L2=-0.000 0
L3=-16.996 4

混沌系统的Lyapunov维数定义：

进一步，在上述参数条件下，系统式(2)在平衡点O的特征值为

λ1=-16，λ2=-4.6，λ3=5

因此，O是一个具有二维稳定流形和一维不稳定流形的双曲鞍点。

2 平衡点稳定性分析

对新三维混沌系统式(2)的平衡点O进行稳定性分析，分为双曲平衡点O(a≠0)与非双曲平衡点(a=0)两个部分，其中非双曲平衡点的稳定性分析利用中心流行定理[11-12]。

2.1 双曲平衡点O(a≠0)

定理1 设a≠0，则混沌系统式(2)的平衡点O为双曲平衡点，且有如下结论：

(1) 当a>0，有以下三种情况：

若bd<0，故平衡点O为有一维稳定流形和二维不稳定流形的鞍点；

若b>0，d>0，故平衡点O为有二维稳定流形和一维不稳定流形的鞍点；

若b<0，d<0，则平衡点O是不稳定的。

(2) 当a<0，有以下三种情况：

若bd<0，故平衡点O为有二维稳定流形和一维不稳定流形的鞍点；

若b<0，d<0，故平衡点O为有一维稳定流形和二维不稳定流形的鞍点；

若b>0，d>0，则平衡点O是稳定的。

证明设Jo是系统式(2)在平衡点O的Jacobi矩阵，则

(3)

进一步，矩阵Jo的特征方程为

|Jo-λI|=(λ-a)(λ+b)(λ+d)

(4)

因而系统在平衡点O处对应的特征值为

λ1=a，λ2=-b，λ3=-d

(1) 当a>0，有以下三种情况：

若bd<0，故鞍点O有一维稳定流形和二维不稳定流形；

若b>0，d>0，故鞍点O有二维稳定流形和一维不稳定流形；

若b<0，d<0，则O是不稳定的。

(2) 当a<0，有以下三种情况：

若bd<0，故鞍点O有二维稳定流形和一维不稳定流形；

若b<0，d<0，故鞍点O有一维稳定流形和二维不稳定流形；

若b>0，d>0，则O是稳定的。

2.2 非双曲平衡点O(a=0)

定理2 设a=0，则混沌系统式(2)的平衡点O为非双曲平衡点，且有如下结论：

(1) 当b<0，则O是不稳定的；

(2) 当b>0，则O是局部渐进稳定的。

证明当a=0，系统式(2)为

(5)

系统式(3)在平衡点O处的Jacobi矩阵A为

(6)

且A的特征值为λ1=0，λ2=-b，λ3=-d，相对应的特征向量为

利用变换

可得

则有

(7)

根据中心流行定理，在平衡点O附近的中心流行可以用u表示：

Wc(0)={(u，v，w)∈R3)|v=g1(u)，w=g2(u)，|u|<δ，gi(0)=0，Dgi(0)=0，i=1，2}

(8)

其中，δ为正数且充分小。

考虑中心流行：

v=g1(u)=a1u2+a2u3+O(u4)

w=g2(u)=b1u2+b2u3+O(u4)

(9)

将式(9)代入式(7)，计算可得：

因此，

将以上表达式代入(7)，可得到系统式(5)限制在中心流行上的向量场的表达式：

(10)

已知b≠0，则由上述表达式可得：

(1) 当b<0，则O是不稳定的；

(2) 当b>0，则O是局部渐进稳定的。

3 数值复杂动力学

本节通过相图、Lyapunov指数、分岔图等途径，适当选取系统的参数，对系统式(2)的混沌、周期等复杂动力学行为进行研究[13]。

3.1 取(b，c，d)=(16，3，4.6)，变化a

当系统式(2)参数取定(b，c，d)=(16，3，4.6)，a在区间 [3，5]变化时，此时对应的Lyapunov指数图和分岔图分别如图4和图5所示。由图4和图5可以知道，系统在a∈[3，5]变化时，系统式(2)有复杂的动力学行为。即当参数a逐渐增大时，系统式(2)可以产生周期吸引子与混沌吸引子。图6与图7为a在区间 [3，5]变化时较典型吸引子的相图，表1列出了各吸引子对应的Lyapunov指数。

表1 系统式(2)的 Lyapunov指数：(b，c，d)=(16，3，4.6)

图4 系统式(2)Lyapunov指数图:(b，c，d)=(16，3，4.6)，a∈[3，5]

图5 系统式(2)分岔图：(b，c，d)=(16，3，4.6)，a∈[3，5]

图6 系统式(2)周期吸引子的相图：(b，c，d)=(16，3，4.6)

图7 系统式(2)混沌吸引子的相图：(b，c，d)=(16，3，4.6)

3.2 取(a，b，c)=(5，15，0.1)，变化d

当系统参数取(a，b，c)=(5，15，0.1)，d在区间(0，2]变化时，此时对应的Lyapunov指数和分岔图分别如图8和图9所示。由图8与图9可知，系统在d∈(0，2]变化时，系统式(2)有复杂的动力学行为。即当参数d逐渐增大时，系统式(2)可以产生周期吸引子与混沌吸引子。图10和图11为d在区间 (0，2]变化时较为典型的吸引子的相图，表2列出了各吸引子对应的Lyapunov指数。

图8 系统(2)Lyapunov指数图：(a，b，c)=(5，15，0.1)，

图9 系统式(2)分岔图：(a，b，c)=(5，15，0.1)，d∈(0，2]

图10 系统式(2)周期吸引子相图：(a，b，c)=(5，15，0.1)

图11 系统式(2)混沌吸引子相图：(a，b，c)=(5，15，0.1)

dL1L2L3动力学0.01-0.0003-0.1556-9.8542周期0.480.29180.0001-10.7720混沌1.560.79870.0000-12.3587混沌

[1] LORENZ E N.Deterministic Non-periodic Flow[J]. Journal of the Atmospheric Sciences，1963(20): 130-141

[2] CHEN G R，UETA T.Yet Another Chaotic attractor Creation and Chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1999，9(7):1465-1466

[3] LI T C， CHEN G R. On Stability and Bifurcation of Chen’s System[J]. Chaos， Solitons&Fractals， 2004，19(5):1269-1282

[4] HEIDEL J， ZHANG F. Non-chaotic Behavior in Three-dimensional Quadratic Systems[J]. Nonlinearity， 1997(10)：1289-1303

[5] HEIDEL J， ZHANG F. Nonchaotic Behavior in Three-dimensional Quadratic Systems II. The conservation Case[J]. Nonlinearity， 1999(12):617-633

[6] LU J H， CHEN G R.A New Chaotic Attractor Coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2002，12(3): 659-661

[7] YANG Q G，CHEN G R. A Chaotic System with One Saddle and Two Stable node-foci[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2008，18(5):1393-1414

[8] YANG Q G，CHEN G R， ZHOU T S. A Unified Lorenz-type System and Its Canomical Form[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16(10):2855-2871

[9] YANG Q G，CHEN G R， HUANG K F.Chaotic Attractors of the Conjugate Lorenz-type System[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2007，17(7):3929-3949

[10] CHEN Y M，YANG Q G.Dynamics of A Hyperchaotic Lorenz-type System[J].Nonlinear Dyn，2014(77): 569-581

[11] KUZNETSOV Y A. Elements of Applied Bifurcation Theory[M].New York:Springer，2003

[12] WIGGINS S. Introduction to Applied Nonlinear Dyna-mical systems and Chaos[M].New York:Springer-Verlag，1990

[13] 张艳红，杨启贵.具有唯一平衡点的四维 超混沌Lü-like系统的研究[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版)，2017，34(3):49-55

ZHANG Y H，YANG Q G. Study to A 4D Hyperchaotic Lü-like system only with One Equilibrium[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University(Natureal Science Edition)， 2017，34(3):49-55