基于预测有效度的IOWA算子模糊组合预测方法*

王 玉 兰

(安徽经济管理学院 基础教学部，合肥 230059)

0 引 言

根据信息资料的提供情况，一般可以使用多种单项预测方法对预测对象进行预测。然而，单项预测方法一般只考虑预测对象某一方面的信息，从而忽略了其他方面的一些信息，因此Bates.J.M和Granger.C.W.J首次提出了组合预测方法[1]，以克服单项预测方法所导致的信息的流失。而由于一些传统的组合预测方法都是对不同的单项预测方法赋予固定的权系数，这就忽略了各种单项预测方法在不同时点预测的精确度不同这一事实，为了改进组合预测方法，文献[2]提出了一种基于诱导有序加权平均(IOWA)算子[3]的组合预测模型，它将不同时点的预测精度作为诱导变量对各单项预测方法进行有序的加权平均，从而使预测的结果精度更高。

而在现实生活中，对很多问题的预测一般都是具有模糊性的，文献[4]给出了三角模糊数的一些基本定义，文献[5]给出了两三角模糊数之间相似度的定义，文献[6-10]提出了一些三角模糊数的单项预测方法，文献[11]对几种单项预测方法进行了总结，并提出了两种新的三角模糊数组合预测方法。文献[12]介绍了一阶预测有效度的一些基本概念，文献[13]综述了组合预测方法的研究现状，以及未来的研究方向，其中对一阶预测有效度建立组合预测模型进行了相应的阐述。将一阶预测有效度引入三角模糊数的组合预测中，建立了基于一阶预测有效度的IOWA算子模糊组合预测模型，通过最优化模型求得最优权系数，并通过实例分析验证了模型的可行性和合理性。

1 预备知识

定义1[4]记a=(aL，aM，aU) ，其中aL和aU分别为a所支撑下界和上界，aM为a的中值，并且有0≤aL≤aM≤aU，则称a为一个三角模糊数。若存在0≤aL≤aM≤aU≤1，则称a为一个规范化的三角模糊数。三角模糊数的隶属函数可表示为

关于三角模糊数，有如下一些运算法则：

设a=(aL，aM，aU)，b=(bL，bM，bU) ，则：

(1)a⊕b=(aL，aM，aU)⊕(bL，bM，bU) =

(aL+bL，aM+bM，aU+bU)

(2)a⊗b=(aL，aM，aU)⊗(bL，bM，bU)=

(aLbL，aMbM，aUbU)

(4)λa=(λaL，λaM，λaU)

定义2[2]设([u1，a1]，[u2，a2]…[un，an])为n个二维数组，令：

(1)

u-index(i)是u1，u2，…，un中按降序排列的第i个数的下标，则称函数IOWAL是由u1，u2，…，un所产生的n维诱导有序加权算术平均算子，简称为IOWA算子，ui称为ai的诱导值。

定义2 表明IOWA算子是对诱导值u1，u2…un按从大到小的顺序排列后所对应的a1，a2，…an中的数进行有序加权平均，li与数ai的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。所以l1所对应的au-index(i)并不一定是a1，a2，…an中的最大值，而是u1，u2，…，un中最大值所对应的a值，以此类推，就可得到每一个li所对应的au-index(i)了。

定义3[5]设a=(aL，aM，aU)，b=(bL，bM，bU)，令

s(a，b)=

(2)

则称s(a，b)为三角模糊数a与三角模糊数b之间的相似度。

通过两三角模糊数之间相似度的比较，可以看出两三角模糊数之间的差距，相似度越大，则说明两三角模糊数之间的相似程度越高，即两三角模糊数越接近。由此可以看出三角模糊数预测值与实际值之间的差别。

定义4[4]令

(3)

则称d为两三角模糊数之间的距离。

此外，淳安先后制定了严格的渔业法规。比如，捕获的鲢鳙鱼体重必须在2.5kg以上，捕获低于该标准的幼体鱼，必须立即放回水域；凡收购千岛湖水域的幼鱼者，视情节严重批评教育、罚款、吊销捕捞许可证，乃至追究刑事责任。

同理，可以通过两三角模糊数之间的距离比较其之间的差距，距离越小，则说明两三角模糊数越接近。

2 基于一阶预测有效度的IOWA算子模糊组合预测模型的建立

定义5 令

(4)

定义6 设uit为第i种单项预测方法在第t时刻的三角模糊数预测精度，则有

(5)

由定义6得到在第t时刻m种单项预测方法相对于实际值的三角模糊数预测精度序列u1t，u2t，…，umt，又知道x1t，x2t，…，xmt为m种单项预测方法在第t时刻的预测模糊时间序列，将预测精度uit作为xit的诱导值，将两者结合便构成了m个二维数组〈u1t，x1t〉，〈u2t，x2t〉，…，〈umt，xmt〉，将u1t，u2t，…，umt按照从大到小的顺序进行排列，并且令u-index(it)为u1t，u2t，…，umt的第i个大的预测相似度的下标，则可以得到如下定义：

(6)

(7)

下面令

(8)

(9)

则式(8)和式(9)分别称为IOWA算子预测误差和组合预测误差。两者之间的关系为

(10)

定义8 令

(11)

则称At为第t时刻的IOWA算子组合预测精度，其中t=1，2，…，N。可以看出预测精度At具有随机变量的性质。

(12)

式(12)的最优化模型可以通过MATLAB软件或LINGO软件进行求解。

3 实例分析

为了说明所建立的基于一阶预测有效度的IOWA算子模糊组合预测模型的可行性，引用文献[10]的数据对以上建立的模型进行实例分析。表1给出了实际三角模糊数序列和3种单项预测方法预测的三角模糊数序列的数据。

表1 实际三角模糊数序列xt和3种单项预测方法预测的三角模糊数序列x1t，x2t，x3t

表2三角模糊数的预测精度序列

Table2Predictionaccuracysequencesoftrianglefuzzynumber

t12345678910111213u1t0.95500.97810.99820.97720.98200.98320.99770.98550.98700.96320.97760.99230.9981u2t0.99830.97400.98010.99900.99860.98320.99880.96580.98810.97870.98760.98870.9781u3t110.98580.96700.98470.97440.99500.96810.98810.99770.96620.98730.9844

表3 由预测精度序列诱导产生的xu-index(it)序列及组合预测值序列

下面根据式(2)、式(3)计算预测的三角模糊数序列与实际三角模糊数序列之间的相似度和其之间的距离，通过其序列之间总的相似度s和距离d的大小，来判断预测序列和实际序列之间的差别，从而说明所提出的组合预测方法的可行性。具体的计算如式(13)、式(14)：

(13)

(14)

由表4可以看出提出的三角模糊数组合预测方法所得到的总的相似度明显高于3种单项预测方法的相似度，且提出的三角模糊数组合预测方法的总的距离明显小于3种单项预测方法的距离。说明提出的三角模糊数组合预测序列与实际的序列最为相近，从而验证了提出的基于一阶预测有效度的IOWA算子模糊组合预测方法的有效性及合理性。

表4 各种预测方法的预测误差指标

4 结束语

以三角模糊数的预测精度作为诱导变量，通过三角模糊数预测精度的高低对各单项预测方法进行赋权，建立了基于一阶预测有效度的IOWA算子组合预测模型，并通过实例验证了模型的可行性。通过模糊组合预测模型的构建，有效地规避了三角模糊数的各单项预测方法所带来的信息的偏差，使得预测值更加精确，有利于决策者更加准确地对问题作出判断。但采取的诱导变量为三角模糊数的预测精度，其中的预测误差取的是两三角模糊数之间预测误差的平均值，在这一过程中是否导致一些信息的流失，还有待于进一步讨论。

[1] BATES J M，GRANGER C W J. Combination of Forecasts [J].Operations Researeh，1969，20(4):451-468

[2] 陈华友，刘春林.基于IOWA 算子组合预测方法[J].预测，2003，22(6):61-65

CHEN H Y，LIU C L. A Kind of Combination Forecasting Method Baesd on Induced Ordered Weighted Averaging(IOWA) Operators. Forecasting， 2003，22(6):61-65

[3] YAGER R R. Induced Aggregation Operators[J]. Fuzzy Sets & Systems， 2003， 137(1):59-69

[4] 黄智力.基于三角模糊数型群体多属性决策法研究[D].厦门：厦门大学，2009

HUANG Z L. Study on Method for Group Multi-attribute Decision-making Based on Triangular Fuzzy Number[D]. Xiamen： Xiamen University，2009

[5] 徐泽水.对方案有偏好的三角模糊数型多属性决策方法研究[J].系统工程与电子技术，2002，24(8):9-12

XU Z S. Study on Method for Triangular Fuzzy Number-Based Multi-Attribute Decision Making with Preference Information on Alternatives[J]. Systems Engineering and Electronics，2002，24(8):9-12

[6] YANG M S，LIU H H. Fuzzy Least-squares Algorithms for Interactive Fuzzy Linear Regression Models[J]. Fuzzy Sets & Systems， 2003， 135(2):305-316

[7] XU R， LI C. Multidimensional Least-squares Fitting with a Fuzzy Model[J]. Fuzzy Sets & Systems， 2001， 119(2):215-223

[8] SINGH S R. A Computational Method of Forecasting Based on Fuzzy Time Series[J]. Applied Mathematics & Computation， 2007， 186(1):330-339.

[9] TANAKA H， UEJIMA S， ASAI K. A Linear Regression Model with Fuzzy Functions[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan， 1982， 25:162-174

[10] 吕剑， 菅利荣. 基于GM(1，1)的三角模糊数序列的预测[J]. 统计与决策， 2008， 23:31-33

LU J， JIAN L R. Forecasting of Triangular Fuzzy Number Series Based on GM(1，1) Model[J]. Statistics & Decision Making， 2008， 23:31-33

[11] 邱红洁， 谷银山， 李翠. 模糊预测的组合预测[J]. 统计与决策， 2009，17:155-157

QIU H J， GU Y S， LI C. Combination Forecasting Method with Fuzzy Information[J]. Statistics & Decision Making，2009，17：155-157

[12] 陈华友，组合预测方法有效性理论及其应用[M].北京:科学出版社，2010

CHEN H Y. Effectiveness Theory of Combination Forecasting Method and Its Application[M]. Beijing: Science Press， 2010

[13] 陈华友，朱家明，丁珍妮.组合预测模型和方法研究综述[J].大学数学，2017，33(4):1-10

CHEN H Y， ZHU J M， DING Z N， A Survey of Researches on Combination Forecasting Models and Methodologies[J]. College Mathematics， 2017，33(4):1-10