实变函数课程教学方式的探讨

胡玉玺

摘要：实变函数是数学与应用数学专业的一门专业基础课。本文主要探讨实变函数这门课程的学习方法以及教学方式，通过梳理实变函数的主要内容，能够理清其基本脉络，掌握其基本思想。另外，对于如何教授实变函数这门课程，我们给出了自己的一些意见和建议，供同行参考。

关键词：实变函数；学习方法；教学方式

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）06-0142-02

一、引言

实变函数是大学数学系的核心必修课之一，实变函数在数学的许多领域中，如测度论、分形几何、泛函分析、调和分析、偏微分方程中都产生了极大的影响。然而《实变函数》课程因其自身的特点，该课程的高度抽象性以及较强的逻辑推理性，课程展开的方式需要经过漫长的准备、集合论与分析相结合的处理方法、所讨论的函数类范围的扩大以及习题量大而且难做等，都使得学生认为其深奥晦涩、枯燥无味。进入这门课程学习时间不长，不少學生便对这门课程丧失了信心，犹如雾里看花，水中望月，完全不清楚它的内容和意义，更谈不上兴趣；后期的学习情况更糟，甚至对一些基本概念的理解都出现困难。为了更好地实施教学，笔者从多年的教学实践中，从实变函数教学中的点滴体会出发，就《实变函数》这门课程的教学方法与教学方式进行探讨。

Lebesgue积分是实变函数的重点内容，要掌握Lebesgue积分的内容首先要知道引入这种积分的动机。因此，总结Riemann积分并指出它的局限性是首堂课应该教给学生的。Riemann积分的局限性有如下几点：（1）可积的函数种类较少，比较著名的是Dirichlet函数不可积。（2）函数列极限和积分交换顺序的条件太强，而且只有充分条件，例如需要函数列一致收敛的条件。（3）从微积分基本定理来看，求导和积分运算并非算是真正的逆运算，需要函数的连续性条件。Lebesgue积分非常完美地解决了上述三个问题，奠定了现代分析学的基础，并为物理学、偏微分方程等学科的发展铺好了基石。

本文首先从整体上叙述清楚实变函数的主要内容、主要思想以及它的主要意义，这对学生了解和学习这门课程是非常有帮助的。其次，在教学方式和方法上，我们阐述一些合理有效的教学方式，并且提出完整完善的教学方法，以此提高课堂的教学效率以及学生的学习效果。最后，我们对这门课程的考查方式提出一些建议和创新。

二、实变函数的主要内容

基本的实变函数内容主要有三部分，分别是集合论、测度论以及Lebesgue积分论。这三者是环环相扣、相互联系的，而并非是相关独立的三个部分。

实变函数的核心内容是Lebesgue积分论，而它恰是数学分析中Riemann积分的推广。两者都蕴含着积分的思想，只是出发点不同。一个是对定义域进行分割取极限（Riemann积分），一个是对值域分割取极限（Lebesgue积分）。Lebesgue本人用比较通俗、生动的语言阐述了他所创立的积分与Riemann积分的区别，Lebesgue这样描述他的积分：“我需要付一笔钱给别人，有两张付款方式。第一种是从口袋里随机的一张一张地掏出来，直到筹够了总的款项，这就是黎曼积分。第二种是把口袋里的钱按照币值的大小做一个分类，再按照币值大小付钱直到筹够总的款项，这就是我的积分”。明白上述这段话对理解Lebesgue积分是非常有帮助的。

Lebesgue积分可以说是现代分析学与古典分析学的分水岭。既然是对值域进行分割，就必要涉及到求对应定义域（一般点集）的“长度”问题，而这就是测度论的内容，即测度本质上是长度，面积或者体积的推广。这种推广是具有划时代意义的。测度论不仅仅应用于实变函数这门学科，在其他很多领域都发挥着重要的作用，如偏微分方程、调和分析等，与此同时，作为研究对象，点集的概念和性质便应运而生，因此第一章讲集合论便顺理成章。事实上，从历史的发展角度上看，是德国数学家Cantor首先发展了集合论，进而才有了Lebesgue积分论。对学生而言，集合论是一个高度抽象的事物，很难理解和掌握，这其实是一种正常的表现。在Cantor本人研究发展集合论的时代也是遭到了很多当代数学家的反对，包括他的导师克罗内克，法国数学家庞加莱等。这在课堂上可以给学生讲授，不让他们失去学习的信心。

三、实变函数的教学方式

实变函数课程的内容大多是定理的推导和证明，单一的授课方式会让学生觉得枯燥无聊，甚至会产生厌恶感。为此，针对本门课程的特点，笔者认为可以灵活地选择如下的授课形式：

1.着重把握实变函数的整体框架，尤其是第一节课，应向学生阐明本课程的历史现状与已学过的课程，如数学分析之间的区别和联系，特别地，讲述Lebesgue积分和Riemann积分的区别是重点。这样做会让学生对实变函数课程有个直观、整体上的把握，不至于迷失于细节的证明推导过程中。

2.在具体内容的讲述中，穿插一些名人轶事，一方面让学生了解实变函数课程的发展历史，同时提高学生的学习兴趣。比如在讲集合论时，可以讲述一下Cantor本人的遭遇；在讲测度论时讲述不同数学家提出的不同测度并比较其优缺点，以便学生更加清楚Lebesgue测度的重要性。

3.要去粗存精。由于课时较少，实变函数课程很难完全系统地讲完，所以有必要省去一些内容，同时花大力气讲述重要的、经典的内容。具体的，可以适当地简短关于集合论的内容，多把时间花在Lebesgue积分论上。

4.采取板书和PPT相结合的方式。如果只是板书，学生学起来会比较枯燥，如果在一些内容上采用PPT教学，则会相得益彰。特别是在讲Cantor集的时候，可以放一些关于分形的图片和动画，让学生了解现代数学的一些概念并体会数学的美。

四、实变函数的考查方式

从教学考核上看，应该增设期中考试。其中考试能够很好地检验学生的学习程度，从而有效调整讲课的方式和速度，提高学习效率。同时，也让学生不至于期末考试的时候一团糟，茫然不知所措。另外，结合国外教学经验，口试环节可以比较清楚了解学生的学习状况，有时比简单的笔试效果更佳。所以尝试口试与笔试相结合的方式是可取的。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础[M].第三版.高等教育出版社，2010.

[2]周民强.实变函数论[M].北京大学出版社，2008.

[3]杨钟玄.浅谈实变函数论教学中应当注意的几个问题[J].天水师范学院学报，2004，（02）.

[4]魏勇.让学生在学习《实变函数论》过程中体会数学的创新方法[J].数学教育学报，2000，（02）.

[5]马立新，姜曰华.《实变函数论》教学改革初探[J].德州学院学报（自然科学版），2002，（02）.