山地高速公路测绘中独立坐标系统的选建研究

于亚杰

(河北省第二测绘院，河北 石家庄 050031)

1 引 言

随着国民经济建设的不断发展，越来越多的高等级公路通向了山区。特别是海拔高、落差大的高山区高速公路路线测绘中，坐标系统的选择尤为重要。在高山区坐标系统和高精度平面控制网的选建过程中，平面控制测量的观测数据要求进行方位角和距离高斯投影及高程归化的归算，其中前者两项归算很小，可忽略不计，作业中一般主要考虑后者的两项归算。GPS的WGS-84大地坐标系统转换到所选平面坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于 2.5 cm/km，根据测区所处地理位置及平均高程情况，选定坐标系统[1，2]。本文以京化高速公路(张家口段)1∶2 000地形图航空摄影测量中坐标系统的选建为例，探讨了山区高速公路工程项目中关于投影带、投影面的选取及坐标转换的问题。

2 长度变形分析

2.1 地面长度归算到参考椭球面上的变形

在控制网的实测边长D归化至参考椭球面时，其长度将缩短△D，若地球平均曲率半径为R，Hm为测距边两端点对参考椭球面的大地高平均值(测距边两端点对投影面的高程平均值)，则有下列近似关系[5，6]：

(1)

2.2 参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形

椭球体上的边长S投影至高斯平面，其长度将伸长△S，该边长两端点平均横坐标值为ym，则有如下近似关系式[5，6]：

(2)

2.3 地面边长归算到高斯投影面的综合变形值计算

以上两项如果不能完全抵偿而容许有一个残余的差数VS，则其相对差数为：

(3)

(4)

由此可算得抵偿带的高程和相应的横坐标区间。式(4)中ym为长度变形≤1/40000的横坐标区间，ym与Hm单位均为km。根号内的“±”表明测距边的高程归化值可以比高斯改化值小，也可以比高斯改化值大。由式(4)可得：

由表1可知：对于一定的高程只存在一定的抵偿地带，其东西宽度随高程的增加而愈来愈狭窄，测绘的区域往往不可能正好在这一范围内。可见人为的改变归化高程来使它们与高斯投影的长度改化相抵偿，便能很好的解决高海拔地区投影长度变形值超限的问题[7，8]。以本项目为例，独立坐标系统选择了投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系的方法建立，中央子午线的选择具有任意性，只要使投影面抬高，接近测区平均高程值，使各控制点的高程相对于投影面高程差值在 ±l59.26 m内即可(当12742Hm-2029=0即Hm=159.26 m时，长度变形值刚好为1/40000)。

长度变形≤1/40000的横坐标区间的计算 表1

3 独立坐标系的建立

3.1 构建独立坐标系的方法

独立坐标系的建立通常采用两种方法，第一种采用抵偿高程面作为投影面，中央子午线依然采用国家3°分带中央子午线；第二种以测区中心为中央子午线位置，取测区平均高程面或者略低于测区平均高程面(考虑到高程异常，同时也是尽可能的抵偿较大的测区范围)的某一高程面作为投影面。

京化高速公路(张家口段)1∶2 000地形图航空摄影测量中坐标系统的选建采用了第二种方法，是因为该方法应用于线状工程，特别是测区范围相对较小(该测区东西长约 63 km)，地势起伏过大的地区是最合适的。

3.2 地方投影带中央子午线L0的选择

在测区内或测区附近选择一条整5′或整10′的子午线作为中央子午线。本项目选择了近似测区中央位置的经线114°30′。经计算得知，若不考虑高程归化，中央子午线经过测区中央时可控制东西方向各 45 km，总长度 90 km的范围。

3.3 抵偿高程投影面H抵的选择

抵偿高程投影面一般选测区平均高程面H平，或稍低一点，H抵取至 10 m整即可。当12742Hm±2029=0时，即Hm=±159.26 m，根据上文分析可知在只考虑高程归化的情况下，测区内任何一个位置与测区投影面高程的高差允许值不能超过 ±159.26 m。以本项目为例，测区海拔最高处 1 028 m，最低处 723 m，落差达 305 m，测区平均高程H平=860 m。由式(1)、式(2)可得：

(5)

H为测区平均高程H平与抵偿面高程H抵之差，即H=H平-H抵。则有

(6)

由于中央子午线在测区中央，采用ym即横坐标中数计算H值不合适，因此分别以东西两侧的横坐标(ymax，ymin)得到(Hmax，Hmin)，取中数即可得H值[9，10]。

(7)

以本项目为例，ymax=32.4(km)，ymin=-30(km)，得H=77 m，可知，H抵=783 m，通过将控制网各点无约束平差成果的大地高与对其进行四等水准测量的高程成果比较，测区的平均高程异常为 14 m，可知抵偿高程面的大地高可近似为 800 m，该抵偿面也只能控制与其落差 ±159.26 m以内的区域，但是测区海拔最高处到该高程面的距离为 228 m，超出抵偿范围，因此，在测区高程落差过大的情况下，可以考虑选择两个抵偿高程面进行计算。本例中，H抵+159.26 m=959.26 m，加上高程异常值后投影面大地高为 973.26 m，可取投影面大地高为 970 m或高出 159.26 m以内任意整数即可，本项目选择了投影面大地高为 1 000 m。根据测距边所在高程范围选择不同投影面下的成果，同样可满足全线施工放样的精度要求。

3.4 坐标转换

首先将本测区已知点坐标通过高斯换带计算，换算成中央子午线为L0的地方带坐标系内的坐标，然后进行投影面坐标的转换。投影面坐标的转换采用椭球膨胀法实现，即保持参考椭球扁率不变，伸缩其长半轴，使观测地点的平均高程面与采用的椭球面相切。本项目采用武汉大学测绘学院研发的CosaGPS 5.20进行换带计算及投影面坐标的转换。该软件提供了三种椭球膨胀法的计算方式，本实例采用的是改变参考椭球的长半径a，不改变参考椭球的扁率α，以独立坐标投影面的大地高△H作为长半径的变化量，即a△H=a+△a，△a=△H，△e2=0。先将原平面坐标进行高斯反算，得到原椭球的大地坐标，在获得新椭球的参数后，求得新椭球对应的大地坐标的转换量dB，dL，dH，于是就得到新椭球下的大地坐标，进而再以新椭球为投影进行高斯正算，即可得到该投影面下的坐标成果[11]。

3.5 结果与验算

在本项目中，通过采用全站仪对测区海拔最高、最低以及测区两边的边长进行实地测量，边长计算值与测量值较差最大为 1.5 cm，最小为 0.6 cm。如表2所示：

计算变长与实地测量边长比较 表2

由于在同一地区高程是有变化的，且y也在ymax、ymin间变动，抵偿高程面使长度变形完全抵偿是不可能的，其变形只要满足规范要求就可以。

4 结 论

4.1 一般要求

为保证成果统一性，应尽量采用国家标准分带建立坐标系，当测区中心位置位于统一分带中央子午线附近且平均高程面与国家参考椭球面相差不大，建议直接采用国家标准分带坐标系。

4.2 任意带高斯投影直角坐标系适用范围

采用任意带高斯投影直角坐标系时，如果测区平均高程不大，可以选择测区中部(或测区范围内)的一条经线作为中央子午线，可以保证高斯改化值较小，且东西抵偿范围较宽；但是对于海拔较高的山区，采用此种方法建立坐标系时，由于高程归化值过大，从而导致综合变形值较大，抵偿范围将大大减少，尤其是线状工程，不推荐适用。

4.3 抵偿投影面坐标系适用范围

4.4 综合法适用范围

采用综合法时，即具有抵偿面的任意带高斯投影平面直角坐标系，应选择测区中心经线作为中央子午线，目的是将投影变为“对称投影”，同时选择测区平均高程面或者略低于平均高程面作为投影面，可增大抵偿带宽。经计算，当投影面选在低于平均高程面 159 m时，极限带宽甚至可达 127 km。

总之，高速公路测绘中投影带和投影面的合理选择，是建立高精度平面控制网的重要组成部分，即便在高程落差大的测区同样可以使长度变形值满足规范要求，这就要求我们根据设计要求，通过变换中央子午线位置与投影面高程值来实现。

[1] 孔祥元，郭际明. 控制测量学(第三版)下册[M]. 武汉：武汉大学出版社，2006：124～127.

[2] 孔祥元，郭际明，刘宗泉. 大地测量学基础[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001：158～175.

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[8] 尹晖，李小祥，甘喆渊. 椭球变换法建立地方独立坐标系的变形研究[J]. 测绘工程，2016(2)：1～5.

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