4维Novikov代数的自同构
2018-03-15黄忠铣
黄忠铣
（武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300）
Novikov代数[1]是流体动力学的Poisson括号，Yang-Baxter方程算子及李群的左不变仿射结构等相关联.这种比较新的代数结构,其与众不同的特征是其左乘算子形成一个李代数,右乘算子是交换的.Novikov代数与李代数在数学和物理的许多分支有众多的应用.发展至今Novikov代数已获得了很多重要的成果.Zelmanov[2]指出特征0单有限维Novikov代数是一维的.徐晓平[3-4]确定了特征代数闭域上单Novikov代数的分类.白承铭等人给出了复数域上的一维和二维Novikov代数，以及相应自同构[5-6].Dietrich Burde和Willem de Graaf[7]指出了复数域上的三维和四维Novikov代数的分类.
本文讨论四维Novikov代数的自同构.取定一组特定的基，利用每一类四维的Novikov代数在此基下的特征矩阵，由Novikov代数的自同构的定义，通过计算确定这类Novikov代数的自同构的结构形式,以表格的形式给出所有的四维Novikov代数的自同构.并由此讨论几何经典-矩阵和某些相空间.
1 预备知识
定义1[5]设A是数域F上的向量空间，A上的双线性乘积（x，y）→xy
则称A为Novikov代数.如果A中的乘法只满足方程（1），则称 A为左对称代数.
定义2[6]设φ∈End（A）,若φ成立
则称φ为A上的自同构.
一个Novikov代数（或一个左对称代数）A的交换子
定义了一个次伴随李代数 （sub-adjacent Lie algebra）G=G（A）.令 Lx=xy，Rx=yx，∀x，y∈A，则左乘算子构成一李代数，右乘算子可交换.
2 4维Novikov代数的自同构
设A是以e1,e2,e3,e4为基的4维Novikov代数，称矩阵
为A的特征矩阵.
应用文献[7]对4维Novikov代数的分类，可计算自同构如下.
表1 4维Novikov代数的自同构Table 1 Automorphism of the 4-dimensional Novikov algebra
续表1
续表2
续表3
续表4
定理14维Novikov代数的自同构见表1.
设自同构φ在基e1,e2,e3,e4下的矩阵为
由自同构的定义，首先由 φ（e1e2）=（∂+1）φ（e3），可得
由 φ（e2e2）=φ（e1），有
利用已得a21=a23=a41=a43=0，类似上面的过程可得
由（11）式减（8）式有 a22a13=0；由 （12）式减（15）式有a24a13=0；若 a13≠0，则 a22=a24=0，故该方阵的行列式为0，这与φ为自同构矛盾.所以a13=0,由 （17）有a24=0.从而 a21=a23=a24=0，所以 a22≠0.同理 a33≠0，由（16）a244=a33，故 a44≠0.由 （14）式减（9）式有 a14a22=0,得 a14=0，代入 （9）有 a42a44=0,得 a42=0,由（4）及 （7）有 a33=a11a22.由 （5）得 a31=（2∂+1）a12a22.因此自同构 φ 在基 e1,e2,e3,e4下的矩阵为
推论14维Novikov代数的自同构群的维数是大于0的有限数.
3 对应的几何经典-矩阵和相空间的等价
Novikov代数具有众多非结合代数所具有的普遍性质.任一Novikov代数的自同构也是其次-伴随李代数的自同构.Novikov代数的自同构集合构成一个李群，其李代数恰是Novikov代数的导子代数.
设G是李代数，令r∈G⊕G，r是G上经典Yang-Baxter方程的解当且仅当r在U（G）满足下式
且在C[X×X]上满足幺正条件r+r21=0，则称r是几何经典r-矩阵[9].
另外，相空间[10]T*G满足如下条件：（1）T*G=G⊕G*，其中⊕表示向量空间的直和，G*是G的对偶空间；（2）T*G是满足如下定义的辛形式的李代数
该辛形式是T*G上的一个2-循环，即
其中CP表示循环置换.
几何经典r-矩阵与相空间之间的关系有如下性质.
引理[6]令G是李代数，则如下条件等价.
（1）有一个左对称代数结构;
[u1+u1*，u2+u2*]=[u1，u2]+ρ*（u1）u2*-ρ*（u2）u1*，∀u1,u2∈G,u1*，u2*∈G*.ρ：G→gl（V）是 G 的表示，且 ρ*：G→gl（V*）是其对偶表示;
（3）有一几何经典r-矩阵.即有一李代数G'，且dim G'=dimG，G是G'的表示空间，使得对在上的经典Yang-Baxter方程，在G⊕G*-G*⊕G'有反对称解；在上的李代数由下式确定
定理2 由4维Novikov代数的自同构的分类，可确定相应相空间的等价映射及几何经典r-矩阵的分类.
