在“示意图”导构中丰富学生“图感”

曹义平

摘 要：“示意图”是表征题意、分析问题的重要载体，能够让学生“不可见的思维”可视化。教学中，教师要引领学生“画示意图”“看示意图”“思示意图”和“用示意图”。在“示意图”的不断导构中敏锐、丰富学生的“图感”。

关键词：示意图；图导图构；图感

“示意图”是一种直观表征题意、直观表征学生思维的载体。由于数学符号所表征的题意是抽象的，学生的数学思维是看不见的。因此，如何让抽象的数学题意直观化，如何让“不可见的思维”可视化就成为数学教学必须研究的课题。教学中，将抽象的数学问题、不可见的分析问题过程与直观的图形结合起来，能够充分展现数学问题的本质，打开学生的思维大门，提升学生的数学素养。在这个意义上，“示意图”是学生数学学习的导航仪，是学生数学学习的“拐杖”。所以著名图论专家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”

一、在“画示意图”中表征题意

但凡学优生都有这样的经验：面对一个复杂的数学问题，若借助图形进行直观表征，往往能让我们产生一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感。通过“示意图”，让学生观察、把握、触摸到认知对象，直观、清晰地展示负载的数量关系，帮助学生厘清思路。正如北京教育学院数学系张丹教授所指出的，“画图策略是一种非常重要的分析问题和解决问题的策略，它是利用‘图的直观来对问题关系、结构进行表达，从而帮助人们分析问题和解决问题。同时画图又是一个‘去情境化的过程，它把情境中的数量关系进行提炼，并且进行直观表达。”

例如：教学苏教版小学数学三年级上册的《间隔排列》，学生对于一些抽象的问题难以想象、思考，如“爬楼梯”“公交车发车”“锯木头”等问题。为此，教学中，笔者运用多媒体课件，将习题中的数量关系、场景图用“示意图”来表示，让学生借助示意图这个“拐杖”深度思考条件、问题以及条件和问题之间的关系。

纯文字形式呈现的问题相对比较抽象，仅凭文字叙述有时学生很难直接看出题中的数量关系。而通过“画示意图”，学生就能直观地看到，层数为两端物体，比楼梯多1；发车次数在两端，比发车的时间间隔多1；锯木头的段数在两端，比锯木头的次数多1。有了这样的“图导”，学生在自主解决“广告牌问题”“男女排队问题”“图钉钉纸问题”时就能主动地进行“图构”。“画示意图”让学生的数学学习从外在的“画”转化为内在的“看”“思”，激发起学生的生活情景想象，促进了学生数学思维水平的发展。学生从画示意图开始，逐步地分析问题、解决问题，这就是一种“数学化”培养。

有了这样的“画图意识”，学生在遭遇复杂的数学问题时就能主动想到画图，就能产生画图的需要，就能让“做数学”与“思数学”有机结合。通过画图，不仅提高了学生解决问题的技能技巧，而且更为重要的是形成了学生解决问题的策略。

二、在“读示意图”中分析问题

“示意图”是学生解决数学问题的工具，教学中，教师不仅要引导学生“画示意图”，还要引导学生“看示意图”“读示意图”，引导学生积极发掘图中的数学信息，进而为学生分析问题、解决问题服务。有些学生能够根据题意画图，但却不会看图。其实，画图不是目的，而是学生数学学习的手段。教学中，教师要引导学生在“图”与“题”之间来回穿行，甚至边画图边看题，边看题边画图。只有在“看示意图”“读示意图”中，才能不断积累学生的看图读图经验，提升学生的问题分析和解决能力。

例如：教学苏教版二年级下册《有余数的除法》，教辅资料《课时作业本》中有这样一道习题：小红有10元钱，小明有16元钱，小明给多少钱给小红，两人的钱就同样多？许多学生看到题目后，根据小明和小红钱数的相差关系，认为小明给6元钱给小红，两人的钱数就同样多了。为此，笔者让学生画出示意图，学生画图（图4）。

尽管学生画出了符合题意的示意图，但他们却不能看懂图意，更没有将目光聚焦于小明和小红钱数的相差数。为此，笔者在图上添加了一根虚线（图5），学生茅塞顿开。

原来，小明比小红多6元，但不能将多的6元全部给小红，如果这样的话，小红反过来又比小明多6元了。因此，要想让小明和小红的钱数相等，小明只能给多的钱数的一半，只有这样，小明少了3元，小红多了3元，两人的钱数才相等。通过不断“完善示意图”，学生才能真正“解读示意图”，进而建构出“相差数”“移动数”之间的关系。

“示意图”让复杂的关系变得简明，让幽晦的关系变得敞亮。教学中，教师引导学生将抽象的数学问题与直观的图形语言有机结合起来，通过不断地“看示意图”“读示意图”，打开学生思维的大门，深入理解问题的数学本质、问题与条件之间的关系等，由此培养直观意识与能力，建立学生直观观念，提升学生直观素养。

三、在“思示意图”中感悟思想

从“示意图”出发，教学中教师要引导学生“思示意图”，依图“想”事，突出学生本质直观的能力。学生“思示意图”首先表现为一种意识，即有意识地借助图形来帮助思考；其次表现为一种能力，即借助图形筛选信息，找准解决问题的症结所在，让问题的解决有章可循。在这个过程中，学生能够感受、体验到“数形结合”的思想力量。

例如：教学苏教版小学数学四年级下册的《解决问题的策略——画图》，对于这样的例题——一块长方形的试验田，长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。学生在理解题意的基础上，借助“示意图”表征关系后，笔者引导学生展开深度的数学思考：

①長增加6米，面积增加48平方米，从图中看，可以求出什么？

②宽增加4米，面积也增加48平方米，从图中看，又可以求出什么？

表面上看，这道题既不知道长也不知道宽，似乎无法求解，但通过画图，却可以看出增加部分的长、宽与增加部分的面积之间的关系。教师引导学生抓住图形的几何表征，就可以打开数学叙述文字化、数学表征形式化的遮掩，找到解决问题的有效路径，实现问题的突破。

再如教学《乘法分配律》（苏教版小学数学教材第8册），这是学生在学习运算律过程中最难以理解，也是学生最容易出错的内容。究其根本，是因为学生不理解“乘法分配律”的形式化表征。为此，笔者启发学生画出两个等宽的长方形（图6），然后让学生将这两个长方形合并起来。

通过“示意图”，引导学生展开主动地思考：第一个长方形的长和宽分别是多少？面积怎么算？第二个长方形的长和宽分别是多少？面积怎么算？可以将两个长方形合并成一个长方形吗？为什么？学生数形结合，直观看到因为第一个长方形的宽和第二个长方形的宽相同，所以可以将两个长方形合并成一个长方形。合并后的长方形的长是（a+b），合并后的长方形的宽是c。如此，学生通过“数形结合”，便可深刻理解、感悟“乘法分配律”的本质内涵，有效地突破了教学难点。

四、在“用示意图”中形成策略

在学生的数学学习中，“示意图”不是目的，而是解决问题的手段、方法、策略。当学生通过多次画图，积累了丰富的画图经验后，就能形成“用示意图”的意识、能力、策略。法国著名的数学家笛卡儿说，“没有任何东西会比图形更能简单直接地引入脑海，用图形表达事物是很有帮助的”。当学生经过不断地“画示意图”“看示意图”“思示意图”和“用示意图”后，一种类似于“语感”“数感”的“图感”便悄然生成。

例如：教学苏教版五年级上册的《解决问题的策略——列举》，面对这样的习题：五个小朋友，每人互相寄一张贺卡，一共需要寄多少张贺卡？五个小朋友，每人互相打一次电话，一共需要打多少次电话？如果教师只是用语言描述，或者只是让学生在头脑中凭空想象，学生是很难把握住它们的数学本质的。教学中，笔者引导学生将五名小朋友抽象成五个点，让学生每两点之间连线。在“画示意图”的过程中，学生领悟到，寄贺卡两人之间需要互相寄，而打电话每两人之间只需要打一次，用学生的话说，就是我和你通电话了，你就不需要和我通电话了；我寄贺卡给你，作为回馈，你还应该寄贺卡给我。学生画出的图如图7、图8所示：

运用点、线来构造图，能够让学生把握两类问题的区别与联系。当学生能够主动“用示意图”来解决“打电话”和“寄賀卡”时，他们就能清晰地辨析“握手问题”“踢足球问题”“循环赛”的数学本质。学生的“用示意图”离不开观察、感知，也离不开实践与操作，更离不开想象与联想。只有建立在观察、实践、想象基础上的“图导”与“图构”，才能体现出“示意图”的意义和价值，才能丰厚学生整体性、次序性和敏锐性的“图感”。

“示意图”的种类是丰富的，常见的有线段图、网络图、长方形图、韦恩图、树状图等，由此形成丰富的数学图谱。在“画示意图”“看示意图”“思示意图”和“用示意图”中，能够深化学生的“图感”。教学中，教师应该创设支持条件，培育学生的“图感”，引领学生步入“示意图”世界，进而开启学生的智慧之门。