任意角的尺规等分

黄正洪

【摘要】若把尺规作图的作业放入三维的空间，在多一个维度的配合下，多一份思绪的搓揉，也许比在二维的平面上更容易收获心中之苦果.

【关键词】任意角；尺規等分

从平面几何常识中，我们知道任何一段弧都是某个已知圆周的一部分，言下之意，每段弧都有相应的圆心角，且由此而知弧的任意等分即为相应圆心角的任意等分，而圆心角的任意等分即为任意角的任意等分.遗憾的是好几个世纪以来，关于角的等分情结，把本就不怎么平静的数学港湾闹腾得沸沸扬扬，但尺规作图的业绩却仍然局限在无法将任意角进行3等分、5等分、7等分、9等分……面对解不开的谜团叫人伤感，但天下不心服之士，一代接一代，弄得头昏脑涨于其间，累得疾病缠身于其后，辛然失落，不堪回首.有意思的是当笔者驻足于山重水复的大自然间，面对蓝的天，绿的地，灵感突然涌动，想到若把尺规作图的作业放入三维的空间，在多一个维度的配合下，多一份思绪的搓揉，也许比在二维的平面上更容易收获心中之苦果.巧的是笔者从遐想里真的觅到了“藏宝”，因感觉思绪的表述还算清晰，如图之示的内容就留给有缘诸君.

（一）由于α2，α4，α8，α16，…都是α的2n等分角，这些角是我们能用尺规作图的方法画得出来的，而在α的2n等分角之间还存在诸如α3，α5，α6，α7，…这些角是我们目前还不能用尺规作图的方法画出来的.为解决此问题，本文把以隐形的1为分子，以连续的自然数为分母的α的分数系数都简称为α的真分数系数.

（二）在某平面上选取适当长的AB为底，分别以α2，α4，α8为顶角，作各自独立的等腰三角形OAB，CAB，DAB.由于这组三角形松散地处在平面上，既无联系，又无规律，人们实在不知如何进行利用，这就是本文考虑将其放入空间直角坐标系的原因.

（三）设顶角为α2，底边长为AB的等腰三角形OAB的顶点O与坐标系的原点O重合，腰OA与OY轴重合，底边AB落在水平象限.定义此一特定位置的三角形为本文的基础三角形.定义过O且垂直于水平象限的OZ轴叫立轴.定义OX轴叫水平轴.如此操作之后，我们研究的对象便在空间直角坐标系中有了一个特殊的家.

（四）现在我们要将顶角为C，C为α4的等腰三角形CAB移进空间特殊的家，移进的方法是：以基础三角形OAB的底AB不动作为三角形CAB的底边，以A为圆心，以独立的等腰三角形CAB的腰为半径，画弧交立轴于C，连接CA，CB（由于在立体几何中对CA=CB的证明很是容易，故我们在此惜墨且加以认定），如此操作之后，顶角为α4的等腰三角形CAB就移进了空间特殊的家，其顶角点C则同基础三角形的顶角点O一样在立轴上进入攀升排队.

（五）与以上（四）的操作过程完全相同.现在我们要将顶角为α8的等腰三角形DAB也移进空间特殊的家，此说即为，以上三个等腰三角形在水平象限都同底为AB，而其顶角点D则同顶角点O和C的情形一样在立轴上进入攀升排队.

由于底边相等的等腰三角形，顶角越小的其高越长，于是我们看到O，C，D在立轴上的位置一点比一点高.面对立轴上排队顶点之攀升，我们的心中产生了一种特别的数学想象，此想象即为，我们要把D到O之间的距离看成一个特殊弹簧，并将之向下压缩，且要压缩到与C到O之间的距离一样长为止.在该过程中我们要理解：所有排序的顶角点都是在随势而下压，而所有下压的顶角点对应的等腰三角形的腰也是在随势而缩短，且要缩短到符合于新位置的等腰三角形的自然腰长为止.在此一数学想象的操控下，对应于D的α8顶角点已按要求被压缩而增大到了对应于C的α4的顶角点的位置上.由于C顶角点在下压其间也是随之而增大的，那么我们要问，对应于C的α的真分数系数此时变为了多大呢？以下是本文的求作过程.

（六）欲求顶角点C在下压后对应的α的真分数系数变为了多大，就必须求出C在压缩而成的影像段中的具体位置.为此我们要在水平轴上找一点E，使OE=OC，此找点使得本来在立轴上的OD在压缩之后的影像成为水平轴上的一段距离，由前面的操作知这段距离的端点E相当于立轴上α4顶角点.因O是基础三角形的顶角点，知其对应于α2，由于在α2到α4之间还存真分数系数顶点α3，那么α3表示的是什么意思？对此我们的数理共识是：既然影像段的段段及点点都是由压缩而来，说明它们与立轴上两个攀升段的段段及点点就一定保持着一一对应的关系，由于OC和CD的分界点是真分数系数点α4，进而知压缩后的对应点无疑是一个随压缩而增大了的真分数系数点，由于影像段之中只存在唯一的真分数系数点α3，于是由对应关系知α3就是这个影像段的分界点.为便于叙述，设此分界点为F，且拟定如下用语：立轴上的OD是压缩前的全长、OC是压缩前的局部，水平轴上的OE是影像段的全长、OF是影像段中的对应于OC的局部.根据影像缩放理念知：压缩前的局部/压缩前的全长=影像段中的对应局部/影像段的全长.于是可得比例式：

OC∶OD=OF∶OE.（1）

影像的缩放功能其实就是几何学中的比例，本文的这种想象压缩正是基于此一数学理念而设计，但在此一设计中存在着F点位置不明的缺陷，显然此缺陷是本文的心病.所幸的是由于空间相交两轴已夹出了一个角形平面，这平面促使我们想到要去构造出一个辅助三角形，于是以攀升段和影像段为边的空间三角形ODE飘然而出.有此辅助三角形凌空傲世，本文就有充分的条件来完成余下的作图过程.

（七）在三角形ODE中，过OD边上的C点作DE的平行线交OE于G，即有CG∥DE，于是由平行线分线段成比例定理可得下式：

OC∶OD=OG∶OE.（2）

将（1）代入（2）于是可得：

OG∶OE=OF∶OE.（3）

由（3）可解得：

OG=OF.（4）

由（4）而知G与F重合，此言下之意即为，由平行线的画作而确定的G即为顶角点α3.此位置一旦明了，我们的心中马上想到G对应于立轴的情形.由于整个求作过程处在同一空间坐标系中，于是知这情形可由两种方案释疑：（1）以O为圆心，以OG为半径画弧，设其交立轴的OC于H，则知H即为对应于G的α3顶角点，这其实就是将水平轴按反时针方向旋转90°而使G和H重合的情形，此说的另一层意思即为，H就是顶角为α3的等腰三角形的攀升顶角点.（2）如果不旋转水平轴，而是将基础三角形绕OA边也按顺时针方向旋转90°，那么此时的水平轴就变成了换一个方向视看的“立轴”，不言而喻，这新的位置关系与之前的设计一脉相承，因现时的“立轴”添增了人们所希望的信息，已然身价百倍，故我们感觉到（2）的方案更容易被人们理解.总之以上两种方案都能达画作的最终目的.为将就人们的视看习惯，本文还是以有过信息补充的立轴为准来完成画作.

（八）连接AH，BH，则顶角为α3的等腰三角形HAB已名正言顺地进入了空间的家，其顶角点H亦理所当然地參与攀升排队.

（九）在那个某平面上，以AB为底，分别以A，B为圆心，以空间的HA或HB之长为半径，画弧交于I点，连接IA，IB则等腰三角形IAB的顶角I即为α3.至此我们已三等分了任意角α.

（十）在三等分任意角α的基础之上，我们发现了一种任意角的任意等分的简便方法.不妨就以α5的尺规画作来表述这一操作情形.命令：所有已知和未知的等腰三角形的真分数系数顶点都必须实际或虚拟而在立轴上进入攀升排队.然后过欲求点α5前一点C，即过α4点作水平轴CX.CX轴存在的另一含义为：等腰三角形CAB已成为新的、提高了一个位置的基础三角形（后文中遇此情形不再另做说明）.现在我们从新基础三角形的顶角点出发，在立轴上向上数出以α5，α6，α7，α8为端点的四个段来向下进行压缩.为什么要取四个段来进行压缩呢？这是因为四个段可看成两个大段，而两大段的分界点一定是偶数分母已知点，譬如，此处的α6就是本文的偶数分母已知点（它是α3的二分点），设此点为J.由前之所证同一情形，知J对应于压缩段的欲求点，如此便为本文的求证工作创造了条件.由于第四段的端点D对应α8，当我们将D向下压缩且压缩到α6为止时，则知D的α8顶点已增大而成α6顶角点了，由于J在此其间是随之而下压的，那么J的α6顶角点在下压时的增大的情形又是怎样的呢？为此我们要在CX轴上找一点K使得CK=CJ，当然我们知此K即为CX轴上的α6顶角点，因已知C对应于α4，且知在α6到α4之间还存在α5顶角点，这一情形，理同于前文中的三等分任意角的画作，于是我们知这个点就是压缩而成的两个段的分界点，设这个分界点为L，则知L即为α5，虽然此点的真分数系数为已知，但其具体位置却不知，而这未明位置点的求作过程正是我们之前所看重过的欲求点的求作过程，于是根据影像缩放的设计理念可得：

CJ∶CD=CL∶CK.（5）

由于空间两轴已确定了一个平面，这使我们想到要去连接DK，于是以被压缩段和压缩段为边的空间三角形CDK飘然而出，于是我们就有了求此欲求点的手段：过J作DK的平行线交CX轴的CK于M点，即有JM∥DK，由平行线分线段成比例定理可得下式：

CJ∶CD=CM∶CK.（6）

将（5）代入（6）得：

CL∶CK=CM∶CK.（7）

由（7）可解得：

CL=CM.（8）

由（8）知L与M重合，此言下之意即为，由平行线的画作而确定的M点即为α5顶角点.此位置一旦明了，我们的心中马上想到M点对应于立轴的情形.由于整个求作过程处在同一空间坐标系中……于是按之前操作过的同一模式，我们能在平面上画出这个顶角为α5的等腰三角形，此情形即为本文已五等分了任意角α.

（十一）与以上（十）的求作过程完全相同.过对应于α6（此点是α3的二分已知点）的顶角点J作水平轴JX，同时从立轴的J开始向上数四个段，即以α7（欲求点），α8（已知点），α9（未参与运算点），α10（此点是α5的二分已知点）为端点的四段来进行压缩……此情形即为本文已七等分了任意角α.

（十二）与以上（十一）的求作过程完全相同.过对应于α10（此点是α5的二分已知点）的顶点N作水平轴NX，同时从立轴的N开始向上数四个段，即以α11（欲求点），α12（此点是α6的二分已知点），α13（未参与运算点），α14（此点是α7的二分已知点）为端点的四段来进行压缩……此情形即为本文已十一等分了任意角α.

以上证明过程一脉相承，都是用已知点画求未知点的方式层层推进.如此之后，十三等分、十七等分……及所有欲求顶角点都会逐一变成画作已知点.我们能层层推进的理由是：由于欲求点的上下点的α系数的分母是偶数，而偶数至少可改写成某数的2倍，则知分出的奇数小于正在画作的未知分母，言下之意即为，此某数者必为已画求过的已知点，故用上述方法我们可逐一求得所有欲求真分数系数顶角点.至此α角的任意等分的画作表述完毕，请有缘审阅诸君为之雕圆补润，从而使此一尺规作图作业能以更完美的姿态面世.