基于波利亚的“怎样解题”表的解题研究

赵益民

美国著名数学家、教育家乔治·波利亚说过：掌握数学就是意味着善于解题.确实，数学教师在日常的教学中都离不开解题，解题是数学教师进行数学活动的基本形式和主要内容，也是数学教师的一个兴奋中心.但是在现实中，有很多教师对于解题没有一个有价值的程序，在解出问题后也不会进一步地深入思考，为了解题而解题，这样犹如“进入宝山而空手而归”，虽然解了很多题目，但自己的解题能力水平还是不高，导致在日常的解题教学中不能做到“会当凌绝顶，一览众山小”的效果，让学生也停留在就题论题、反复做题的不良循环中，让学生看不到问题后面的本质.

其实，波利亚在《怎样解题》中提出了一张解题表，该解题表有四个步骤，具体如下：

步骤具体操作

第一步：弄清问题

你必须弄清问题.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图，引入适当的符号.把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

第二步：拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.

你能不能利用它？你能利用它的結果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用同样的方法重新叙述它？回到定义去.

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者两者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三步：实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤.

你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

第四步：回顾

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？

你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

波利亚说：“只要应用得当，如果你向自己提出表中的这些问题与建议，他们可以帮助解决你的问题；而如果你向你的学生提出同样的问题与建议，你就可以帮助解决他们的问题.”在此，可以达到两个相关的目的：第一，帮助学生解决手头问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力，从而发展学生数学建模的素养.