数列极限定义教学的研究与实践

高爱平

【摘要】本文通过对数列极限“ε-N”定义难点的分析，寻找能够适应高职高专学生的教学方法，以帮助初学者深刻理解数列极限的精确定义.

【关键词】数列极限；“ε-N”定义

数学分析课程的研究对象是函数，研究内容是函数的分析性质，包括连续性、可导性、可微性、可积性，而极限方法是研究函数分析性质的主要工具，数列极限又是极限概念的基础，理解好数列极限概念，掌握好极限思想方法对学好数学分析乃至后续课程都将起到事半功倍的作用.但是长期以来，高职高专的师生都反映数列极限概念难教难学.本文拟从分析数列极限概念教学难点入手，探索适合高职高专学生的教学方法，让大一新生顺利迈进数学分析的高门槛.

一、难点分析

（一）极限概念的本身特点

数列极限概念本身具有数学语言抽象，逻辑结构复杂的特点.它涉及诸如“无限增大”“无限逼近”“任意”“给定”“存在”等抽象的数学术语，概念叙述烦琐符号多，关系错综复杂，常常使学生感到莫名其妙.数列极限概念蕴含丰富的辩证法思想、符号化思想，借助极限思想，人们认识了有限与无限、不变与变、量变与质变、直与曲、近似与精确的辩证统一.教师在教学过程中应注意借助辩证法思想、符号化思想的启发，培养学生的思维方法和思维品质，促其提高分析问题和解决问题的能力.

（二）学生认知的发展水平

另一方面，学习困难来自学生自身.高职高专学生的数学基础不够扎实，学习兴趣不够浓厚，学习能力有待提高.由高中进入大学后，学习高等数学时的第一个公认难关就是数列极限，新概念的构建与学生已有的旧知识、旧思想、旧方法有很大差别，难免一时弄不明白，倍受打击，不利于充分发挥学生的智力.极限概念的产生是数学家对那些不能用算术、代数、初等几何等简单方法来解决的问题进行了漫长顽强探索的结果，有着两千多年的历史，在引入数列极限概念时，教师应向学生介绍其产生的文化背景，清楚极限在高等数学的核心地位，用数学家的探索精神，求真精神去激发他们的学习兴趣和求知欲，打好入门这一仗.

（三）教学理念的局限

目前数学分析的教学还是满堂灌，为赶进度马不停蹄，缺乏学生实操训练与课后反馈.数学分析的内容具有高度的抽象性和逻辑性，在教学过程中过于强调抽象的理论和严密的逻辑，面面俱到，无懈可击，结果只能是让学生望而生畏，敬而远之.

二、难点突破

（一）历史背景引入

极限思想在我国古代的文献中早有记载：庄周的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，古代杰出的数学家刘徽创立的“割圆术”求圆周长，阿基米德的“穷竭法”求曲边三角形的面积，等等.这些问题主要是无限问题，它把某些实际问题的研究放在无限过程中接受考察，极限概念就是为了求这些实际问题的精确解而产生的.

“割圆术”求圆周长，“穷竭法”求曲边三角形的面积这里不宜展开，庄子的“截杖”易于操作理解，可作为新生的敲门砖.为激发学生学习兴趣，调动学生积极思考，利用四格漫画“羊吃草”，探讨羊所哭为何，能认识到数列极限既是一个过程（万世不竭），又是一个结果（羊大哭），反映了一个无穷数列在无限变化过程中的发展趋势和发展结果，就是研究当自变量n发生变化时，数列的项的变化趋势，至于能不能到达那个“位置”，则没有做出要求.

（二）图形语言动画演示数列的极限

极限概念本身就是一个动态的渐进过程，用动态的形式把它展现出来，还原其本来面目，就像物理、化学的实验一样，更加直观具体地去认识它.Matlab具有方便的数据可视化功能，利用这款数学软件，可以将数列极限12n，nn+1，（-1）nn绘制出来.

n=1；y=1.5；plot（n，y）；xlim（[0，10]）；ylim（[0，05]）；for n=1：10；y=1/（2.^n）；drawnow

hold on；plot（n，y，′rd′）；pause（0.1）；%决定动态时间end

Matlab的仿真效果，可视化功能，动态直观演示，代替手工作图，便于观察自变量n无限增大时，数列的项12n的变化趋势，得到数列极限的感性认识，加深对极限及其变化规律的理解，并能激发学生兴趣，提高教学效果.

（三）文字语言直观描绘数列的极限

数学概念不能只停留在表象，必须揭示概念内涵，遵循“感知—表象—概念”的认知过程，引导学生观察数列动图，结合函数的单调性，要求能用文字语言概括上述现象，得到极限的定性描述.

“当n增大时，12n单调减小.当n无限增大时，12n无限减小，无限趋近于一个常数就是0”.

“当n增大时，nn+1单调增加.当n无限增大时，nn+1无限增大，无限趋近于一个常数就是1”.

“当n增大时，（-1）nn没有单调性.当n无限增大时，（-1）nn无限趋近于一个常数就是0”.

并能分辨出不是数列{an}在减小，而是数列与常数的距离|an-a|在无限减小，无限趋近于0.

（四）符号语言精确定义数列的极限

如此直观描绘的极限好理解，但在后续知识的应用中，操作起来极不方便.比如，中学减函数的直观描绘：“随着自变量的增大而函数值在减小的函数叫作减函数”，当其转化为精确定义是：“x2>x1，有f（x2）≤f（x1）”，后續知识方可借助其精确定义进行严谨的论证.数列极限的直观描绘也迫切地需要符号化为精确定义，借助这个工具，进一步研究函数的分析性质.

不失一般性，以数列（-1）nn为例，当n=100时，有（-1）nn-0=0.01；当n<100时，有（-1）nn-0>0.01（减小“<”，远离“>”）；当n>100时，有（-1）nn-0<001（增大“>”，趋近“<”，以此类推）……当n>1 000时，有（-1）nn-0<0.001……当n>10 000时，有（-1）nn-0<0000 1……不胜枚举，于是引入符号ε，N，当n>N时，有（-1）nn-0<ε.反之亦然，要使（-1）nn-0<ε，只要n>N.其中ε是任意给定的小的正数，要多小有多小，ε越小，（-1）nn-0<ε的成立表明数列（-1）nn越趋近于0，且此式成立要求n>N（N与ε有关），与最初有限项无关.于是，不难给出数列（-1）nn的极限是0的定量定义：n>Nε（自然数Nε），有（-1）nn-0<ε（ε>0）.从而得数列{an}的极限是a的定量定义：ε>0，Nε∈N，n>Nε，有|an-a|<ε.

三、结 语

对于高职高专的学生，刚开始认识数列极限的时候，不宜一味追求严密无懈，急于描绘类似于sinnn这种忽远忽近波动着无限逼近常数0的数列.仿唐诗《望岳》：艾普小如何，只要把N找.当n更大时，一览众差小；仿唐诗《春晓》：艾普任意小，远处把N找.从此N以后，距离a愈少；再如，几何意义：ε小an愈近，N大n更优.此N的后面，数列邻域收.可活跃课堂气氛，调动学习热情，吸引积极讨论，亦是无伤大雅的.

【参考文献】

[1]刘玉琏.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.