一种改进的小波尺度相关阈值去噪方法*

袁伟家，刘雨东，翟春平

0 引 言

声波在水中具有比电磁波更远的传播距离，使得水声信号应用范围广泛。声信号通过声呐（换能器）发出，以实现水下目标识别，如水雷探测定位、目标跟踪以及通讯等功能。由于海洋信道复杂多变，海洋背景噪声和信号在采集、传输、接收甚至传输中的电路震荡，都会不可避免地引入噪声，使得接收声信号产生畸变和失真，因此信号具有非平稳特性[1]。噪声的出现影响了信号的接收和后续处理，因此必须对噪声加以抑制。传统的去噪方法有低通滤波去噪、FFT去噪[2]等。FFT去噪不能实现时域细分，且难以检测到局域突变信号，导致去噪的同时部分有用信号的信息也会损失。传统去噪算法通常不能将处于同频带的信号和噪声区分开，而小波分解能够克服这一局限[3]。在小波去噪领域，Donoho[4]提出的阈值去噪法得到了实际应用，但硬阈值函数在λ处不连续，导致小波分解系数重构时出现伪吉布斯（Pseudo-Gibbs）效应，从而使信号失真、震荡或图像信号模糊。而软阈值函数一阶可导整体具有较好的连续性，但存在固定的偏差。刘娟花[5]等人比较了小波基和阈值选取规则，提出了一种改进的去噪算法，取得了一定效果。为达到更高的信噪比，降低有用信号的信息损失，很多学者将注意力集中到小波系数的相关性上，如小波尺度内相关算法[3]和尺度间相关算法[6-7]利用信号与噪声在不同尺度模型的相关性去噪，提升了算法性能，但也增加了巨大的计算量。

针对上述缺陷，本文在小波变换基础上提出了一种改进的小波尺度相关阈值去噪法。采用空域相关算法能够保留信号突变处的信息[8]，捕捉水声信号多尖峰的特征，同时采用小波变换克服信号非平稳的特性。

1 算法原理

1.1 二进制离散小波变换

连续小波函数[9]的一般形式为：

式中，b∈R，a∈R+，且a≠0，Φa,b(t)满足容许性条件[10]。为简便起见，总限制a取正值。相应地，容许性条件变为：

将b1进一步归一化处理，得到：

一般情况下，离散小波函数有：

而离散化小波变换系数为：

其重构公式为：

1.2 相关去噪算法

相关去噪法利用信号和噪声在不同尺度间相关性不同的特点，将相邻尺度的小波系数做相关处理，然后根据相关程度决定是否保留小波系数，再重构信号达到去噪目的[11]。相关去噪法的优点在于对信噪比高的信号去噪效果较好，对信号边沿保护较好，且不会产生阈值法的边缘过于平滑和Gibbs现象。缺点在于，若计算相关系数的点偏移量较大，则相关系数受影响，将对大尺度相关系数的计算带来更大误差，且需要迭代运算，不仅计算量大，而且需要预估噪声的方差来确定迭代终止条件。

设带噪信号长度为l，分解层数为j，则w( j,n)表示分解后第j层第n点的小波系数。依次从各层小波系数中选取一段不包含信号的噪声（通常选取开始的一段）长度记为l1，并估计噪声的方差δn，将相邻尺度的小波相关系数归一化处理，将其绝对值与当前尺度的小波系数作比较。若绝对值较大，则认为是由信号引起的，将转移原系数并置零处理；否则，保留原系数，直到原系数的能量接近于噪声能量为止。

具体步骤如下：

（1）对带噪信号进行二进制离散小波变换；

（2）求相邻尺度的小波系数的相关系数Cw(j,n)（最后一层不做相关处理），并作归一化处理；

（4）重复步骤（3），直到该尺度内满足：

其中，Pw(j,n)为w( j,n)的功率，定义w( j,n)与w( j+1,n)的相关系数为cor( j,n)，则：

其中：

1.3 阈值函数

1.3.1 硬阈值去噪

硬阈值去噪由Donoho提出，思路如下：

（1）对含噪信号做小波变换，得到对应小波系数w( j,n)。

（2）阈值函数为：

其中δ为噪声功率，N为小波变换点数。若|w( j,n)|≥T，保留原系数；否则，置零处理。

（3）将采用阈值处理过的小波系数重构，即为去噪后的信号，具体表达式如下：

1.3.2 软阈值去噪

在硬阈值基础上将较大的小波系数做收缩处理，得到：

图1 软硬阈值函数的比较

硬阈值处理使得信号不连续[12]，采用软阈值函数处理后的信号相对于硬阈值更加平滑，但也由于对较大的小波系数进行了收缩处理而带来了偏差，使得信号丢失了某些特征。

1.4 改进的相关阈值去噪算法

若带噪信号长度为l，分解层数为j，估计噪声的方差为δn，小波分解点数为N，根据式（14）求得全局阈值T，由式（11）计算第j层小波系数w( j,n)与第j+1层小波系数w( j+1,n)的相关系数，并归一化得到co( j,n)。设改进新阈值变量为λ，其中：

相比于常规阈值函数去噪法，此处相关系数当信号与噪声幅度相近时，不会将信号作为噪声去除，保证了小波系数的有效性。在此基础上引入软阈值进行去噪，改进的软阈值函数必须满足条件：当小波系数趋近于λ时，阈值函数w—( j,n)趋近于w( j,n)或0。

阈值函数w—( j,n)关于w( j,n)为增函数，且逐渐递增时趋近于w( j,n)。

基于上述理论，设计阈值函数公式为：

此阈值函数具有连续性，且在|w( j,n)|≥λ时高阶可导。相关系数的引入，使得信号成分进一步加强，而噪声成分得到削弱，并减少了有效信号缺失的状况。此外，可调节参数M的引入，使得去噪函数适应各种情况。当信噪比较大时，可以适当加大M值，范围通常设定在0.1～1。

2 结果比较

选取一段正弦波信号并加入噪声，使得信噪比SNR=5 dB。采用相关法和改进的相关阈值函数法对含噪信号去噪处理，并计算信噪比。小波分解至5层，采用sym8小波基，结果如图2所示。

选取水声信号中的声信标信号作为仿真模型，其特征为高频窄脉冲。使用Matlab构造仿真信号，信号长度l=10 s，频率fs=37.5 kHz，周期T=1 s，波形为正弦波，加噪后信噪比为0 dB。同样，小波分解至5层，采用sym8小波基仿真，结果如图3、图4所示。

图2 两种算法去噪情况比较

图3 原始信号和加噪信号

图4 去噪后的信号

通过对比可以看出，相关去噪法去噪后依然保留了很多尖刺，起伏较大，而改进的相关阈值去噪法去噪明显，波形较为平滑。为进一步说明去噪效果，对上述两种信号去噪前后的信噪比和均方误差进行了比较，结果如表1、表2所示。

表1 两种去噪方法去噪效果对比

从表1可以看出，改进相关阈值法均方误差更小，能够稳定提高信噪比，效果优于常规相关去噪法，而相关去噪法在提高信噪比的同时，甚至出现了均方根误差不稳定的情况。此外，通过调整可调因子M值（如表2所示）发现，当设定值M在0.1～1，算法具有较好且稳定的性能。因此，所提出的改进相关阈值函数去噪法优于常规相关去噪法。

表2 可调因子去噪效果分析

声信标信号为f=37.5 kHz的脉冲信号，周期T=1 s。选取一段海底深度1 900 m的声信标信号进行去噪处理，结果如图5所示。

图5 声信标数据处理消噪结果

从图5可以看出，深度1 900 m的声信标信号已被噪声完全湮没，且不能直接分辨出信号。经本文所提方法处理后，抑制了部分噪声，改善了信噪比，为后续处理步骤奠定了基础。

3 结 语

基于常规小波空域相关算法的优势，本研究利用多尺度间小波系数相关性，结合软阈值去噪算法原理，提出了一种新型相关阈值去噪方法。经仿真分析，本研究提出的改进算法去噪效果优于常规小波空域相关去噪算法，能在最大程度保留原信号小波系数，同时平滑信号，且信号边沿信息完整，具有更高的信噪比和更小的均方根误差。因此，所提去噪方法非常适用于水声信号的去噪。

[1] 惠俊英,生雪莉.水下声信道[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2011.HUI Jun-ying,SHENG Xue-li.Underwater Acoustic Channel[M].Harbin:Harbin Engineering University Press,2011.

[2] 刘鲭洁,陈桂明.FFT和小波变换在信号降噪中的应用[J].数据采集与处理,2009,24(b10):58-60.LIU Qing-jie,CHEN Gui-ming.The Application of FFT and Wavelet in Signal Denoising[J].Data Acquisiton and Processing,2009,24(b10):58-60.

[3] 向东阳,吴正国,侯新国.改进的多小波变换系数相关去噪算法[J].高电压技术,2011,37(07):1728-1733.XIANG Dong-yang,WU Zheng-guo,HOU Xin-guo.An Improved Multi Wavelet Transform Correlation Denoising Method[J].High Voltage Techni-que,2011,37(07):1728-1733.

[4] Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[M].IEEE Press,1995.

[5] 刘娟花,李福德.基于小波变换的信号去噪研究[J].西安理工大学学报,2004,20(03):289-292.LIU Juan-hua,LI Fu-de.The Reaserch of Signal Denoising Based On Wavelet Transform[J].Journal of Xi’an University of Technology,2004,20(03):289-292.

[6] 厉茜.基于相关模型的平稳小波维纳滤波器图像去噪算法[D].长春:吉林大学,2004.LI Qian.The Image Denoising Algorithm of Stable Wavelet Wiener Filter Based on Correlation Model[D].Changchun:Jilin University,2004.

[7] 肖倩,王建辉,方晓柯等.一种基于互相关函数的小波系数相关阈值去噪方法[J].东北大学学报:自然科学版,2011,32(03):318-321.XIAO Qian,WANG Jian-hui,FANG Xiao-ke,et,al.A Denoising Method Based on Wavelet Coefficient Correlation Threshold of Mutual Correlation Function[J].Journal of Northeastern University(Natural Science Editon),2011,32(03):318-321.

[8] Xu Y,Weaver J B,Healy D M,et al.Wavelet Transform Domain Filters:a Spatially Selective Noise Filtration Technique[J].IEEE Transactions on Image Processing a Publication of the IEEE Signal Processing Society,1994,3(06):747-758.

[9] Daubechies I.Ten lectures on Wavelets[M].Capital City Press,1992.

[10] Mallat S.A Wavelet Tour of Signal Processing[J],The Sparse Way,1999,31(03):83-85.

[11] Zhang L,Bao P.Denoising by Spatial Correlation Thresholding[J].IEEE Transactions on Circuits &Systems for Video Technology,2003,13(06):535-538.

[12] 张仁辉,杜民.小波分析在信号去噪中的应用[J].计算机仿真,2005,22(08):69-72.ZHANG Ren-hui,DU Min.Application of Wavelet Analysis in Signal Denoising[J].Computer Simulation,2005,22(08):69-72.