一类三次多项式系统的全局分析*

方成鸿

(景德镇陶瓷大学 信息工程学院,江西 景德镇 333403)

关于平面二次多项式微分系统的定性分析，研究结果较丰富，文献[1]有论述，对于三次系统，多为分析不同形式的三次系统，获得系统的结构相图或者极限环存在的条件，以便了解三次系统的各种全局结构.考虑如下形式的系统：

(1)

文献[2]包含c=0时的结论，以下设c=1，否则可作适当的变换达成.本文分析点(a,b)位于第一、三象限的情形，这时系统(1)以(虚)椭圆1+ax2+by2=0为垂直等倾线，通过对奇点、无穷远奇点的讨论，获得了系统(1)的全局结构相图.

1 奇点的性态

方程(1)的右端所定义的平面向量场关于坐标x轴对称，故中心型奇点都是中心.

引理1系统(1)的奇点O(0, 0)是中心.

2 关于高次奇点轨线走向的结论

为应用方便，对文献[4]的引理1进行推广.设原点是

(2)

的孤立奇点，其中X(x,y)、Y(x,y)在原点附近具有任意阶偏导数，在原点处的函数值及一阶偏导数值均为零.

定理1如图1，设θ=θ0是特殊方向，曲线l1:y=f1(x)是系统(2)的水平等倾线，角域I内无其他等倾线，如果存在正数c使得当0

上述角域也可位于其他象限，相应修改不等号方向即可.同理可证.

定理2如图1，设θ=θ0是特殊方向，曲线l2:y=f2(x)是系统(2)的垂直等倾线，角域Ⅱ内无其他等倾线，如果存在正数c使得当0tanθ0在角域Ⅱ内处处成立，那么在该角域内系统(2)无轨线进入或离开原点.

3 无穷远奇点

作Poincare变换u=y/x，z=1/x及时间变换dτ=dt/z2，系统(1)化为

(3)

系统(3)的奇点附近的轨线拓扑结构如图2所示.

作变换v=x/y，z=1/y以及时间变换dτ=dt/z2，系统(1)化为

(4)

4 全局结构

定理3当a=0时，系统(1)的全局结构相图如图4所示；当b=0时，系统(1)的全局结构相图如图5所示.

引理5当a=-1且-1/2≤b<0时，鞍点B2位于左半平面的不稳定流形以A为ω极限点.

引理6当-1

定理4当a<-1且b<0或者a=-1且b<-a2/2时，系统(1)的全局结构相图如图6(1)所示；当a=-1且-a2/2≤b<0时，系统(1)的相图如图6(2)所示；当-1

引理7当-1

引理8当-1

引理10当-1

由于div(P,Q)=-2axy，可知a≠0时在任何一个象限，系统(1)都不存在闭轨线.根据引理9、10、11，结合无穷远奇点的性态可得.

定理5设-1

关于ab<0的情形，另文分析，这时系统(1)的一条垂直等倾线是双曲线1+ax2+by2=0.