再议一道二元函数条件极值的解法

☉山东省东营市河口区第一中学 王皓瑜

近日读《中学数学教学参考》2013年（1-2合刊）刊登的张琥老师的文［1］，很受启发，但文中呈现了一道二元函数的条件极值问题，感觉此题的解答颇有问题和争议，查询知网得知安徽的梁宝同老师在《数学通讯》（2013-10）文［2］发表了自己对本题的态度与观点，梁老师指出了张琥老师文中的几个问题，与本人研读此题的认识一致，本着研究的态度，需要再议此二元函数条件极值的解法，不当之处还请批评指正.

说明：梁老师在文［2］中对文［1］的详尽解答做了展现，此处省略.

梁老师凭着自己对判别式法求最值的认识，提出本题是错用判别式法，才导致结果错误，并警告读者不要乱用判别式法，并没有对判别式法给出必要的分析，判别式法是求函数最值非常重要的方法，分析不到位很容易引起错误，为此本人非常同意梁老师在文［2］的观点，尝试从判别式法角度展开分析如下：

文［1］与文［2］中方程（1-2r）a2+（2r2+2r）a-4r2=0的根不应单纯地理解为正实根. 因为a＞2，a＞r，b=都是现实存在的不等关系，所以仅从Δ≥0获取r≤1也是极为不妥的，况且Δ≥0也仅仅是一个必要条件，验证结论的充分性也是必须的.

图1

正常的数形结合分析应该从命题“方程有大于r的正实根”开启，需要定义f（a）=（1-2r）a2+（2r2+2r）a-4r2，

综合（1）（2）（3）知，r∈（0，1）无最大值

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的条件极值的方法.为此本人也尝试提供如下的分析：

令L′（a）=L′（b）=L′（λ）=0，方程组无解.

本文尝试给出如下证明：

图2

证法2：由图3易知，当内切圆恰与动直线AB相切于定点P时，内切圆直径最大.

图3

备注：方法2与文［2］的简要分析相同.

证法3：数形结合，如图4，设Rt△OAB的内切圆的半径为r，则其圆心为（r，r），根据圆心到直线AB的距离为r，可得r=，平方整理得2r2-2（a+b）r+ab=0.

图4

所以2（a-m）r2-2a（a-m+n）r+a2n=0.

所以（n-2r）a2+（2r2+2mr-2nr）a-2mr2=0.

此方程必定有大于r正实数根.

定义新函数（fa）=（n-2r）a2+（2r2+2mr-2nr）a-2mr2且（2n＞m＞0，2m＞n＞0），

结合前述判别式法的分析（此处略）.

Δ=（2r2+2mr-2nr）2-4（n-2r）（-2mr2）≥0⇔r2-2（m+n）r+（m2+n2）≥0，

因为r＜min｛a，b｝，当且仅当a=b时，min｛a，b｝取最大值m+n，因此r＜m+n，

解法2：由直观易知，当内切圆恰与动直线AB相切于定点P时，内切圆直径最大.

感谢文［1］与文［2］两位老师提供的解题研究素材，解题研究永无止境，以上是本人对本题的一些粗浅的认识和看法，再次敬请各位老师批评指正.

1.张琥，“数形结合思想”教学设计示例之二，中学数学教学参考（上旬），2013（1-2）.

2.梁宝同，一道值得商榷的例题，数学通讯（下半月），2013（10）.