基于核心素养打造“生命课堂”——以高三“应用导数证明不等式”为例

☉安徽省界首第一中学 崔 玮

高三复习时间紧、任务重，优化课堂、提高教学效率是每位教师必须面对和解决的难题.高三复习课究竟怎么上？这与教学内容、学生知识储备、教师教学风格等因素息息相关，难以形成统一、固定的模式，这正是教育的科学、艺术与魅力所在.

高中数学教学的目标是激发学生学习的兴趣，调动学习的主动性，提高数学思维的参与度，促使学生学会数学思考，全面提升学生的数学核心素养.正是基于此，对于高三数学复习教学，我们要精心设计数学探究活动，倡导自主探索、合作探究等多种学习方式，以提高同学们的复习效率，从而提升核心素养.

高三数学复习课的教学设计一定要源于课本素材，加工整理教材，对教学内容做到透彻而精准地理解，并在此基础上结合学情，研究考情，引领学生发现问题、表述问题、分析问题、解决问题，还原隐含的“火热的思考”，逐步提升学生的数学核心素养.［1］笔者以发展和提升学生健康的核心素养为目标，设计了“应用导数证明不等式”一课的教学方案，供大家探讨.

一、考情分析与教学目标

1.研究考题，掌握考情

本节导数的应用（不含导数的几何意义）侧重利用导数求函数的单调性、极值、最值等，所占分值为17分左右，一般理科是一小一大，即一个客观题、一个解答题：文科是两小一大，即两个客观题、一个解答题，小题从基本函数到分段函数、函数运算得到的组合函数、抽象函数等，难度有加大的趋势.大题的函数形态不再拘泥于多项式函数，而是以指数型、对数型（或者结合分式型）函数为主，本节应用导数证明不等式在考试说明中为C级要求.在近几年高考中，很多都是把导数设置为最后爬坡题，作为考查能力、区分能力的重要手段.

2.研读考纲，明确目标

从知识层面上，通过本课教学使得学生熟练理解掌握导数的应用，能利用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值，并会用导数解决实际问题.从核心素养的层面上，通过递进式的问题设置，引领学生学会数学地思维，最终通过数学学会思维，提升数学学科的核心素养，这就有助于用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，发展学生的核心素养.［2］

二、导数的应用教学设计

1.课前热身，复习回顾

（1）函数f（x）=lnx过定点，则f′（x）=_______；函数f（x）=ex过定点，则f′（x）=_______.

（2）求函数y=ex在（0，1）处的切线方程.

（3）导数可以解决曲线的切线问题，请你说出导数还可以解决哪些问题？

（4）函数f（x）=x3-9x2+24x，求f（x）的单调区间.

设计意图：问题（1）的设置，意在由学生通过自主学习，回顾指、对数函数的定点问题与求导法则；问题（2）意在让学生理解导数的几何意义，为后续的学习做铺垫；问题（3）和（4）为学生的思维“热身”，熟悉导数的简单应用.这样设计课前热身的目的是希望学生通过预习让学生熟悉导数的简单应用，教师根据学生的回答进行适时点拨，以达到理解概念、掌握基本方法的目的.

2.回归教材，贴地而行

师：请同学们思考如何应用导数证明不等式呢？请看例1，你有什么想法呢？

例1 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：ex＞x+1（x≠0）.

生1：构造函数f（x）=ex-x-1，借助于该函数的单调性探求其最小值，只需证f（x）min＞0即可得到证明.

师：你所构造的函数f（x）=ex-x-1有何特点呢？又有何预见呢？

生2：由于e0=1，所以函数f（0）=0，可以猜想f（x）min=f（0）=0.

师：你能给出严谨的证明吗？

生：（板演）令f（x）=ex-x-1，f（0）=0，f′（x）=ex-1，f′（0）=0.

当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增.

f（x）=ex-x-1≥f（0）=0，当且仅当x=0时，等号成立.

故ex＞x+1（x≠0）.

师：我们能否通过函数图像直观验证呢？请你动手画一画.（如图1）

图1

设计意图：本例取材于人教版选修2-2习题，其设计思路是力求从学生认识规律的角度，引领学生“回归教材、跳出题海”，在其思维水平的“最近发展区”的平台递进式地进行探索.教师适时点拨，引导学生构造函数，应用导数研究所构造函数的单调性，达到掌握证明不等式的基本策略与方法的目的，发展学生的数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养.

3.类比思考，触类旁通

师：你能类比上述方法，证明不等式lnx≤x-1，并通过函数图像直观验证吗？

生3：构造函数f（x）=lnx-x+1，f（1）=0，只需证明f（x）=lnx-x+1≤f（x）max≤0即可.

师：请你给出严谨的证明，通过函数图像直观验证.生：（板演）令（fx）=lnx-x+1（x＞0），则f′（x）=-1=

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.

所以f（x）=lnx-x+1≤f（x）max=f（1）=0.

故∀x＞0，都有lnx≤x-1.通过函数图像直观验证，如图2所示.

图2

师：能否应用前面的结论简捷地证明不等式lnx＜x＜ex（x＞0），如何证明？

提示：lnx＜x-1＜x＜x+1＜ex.

师：lnx≤x-1，ex≥x+1，这两个不等式是函数不等式问题中的“重要不等式”，其几何解释如图3所示.

图3

设计意图：新课改特别指出：“数学教学，要紧密联系学生的实际和生活环境，从学生已有的经验和知识出发，创设生动有趣、有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，使学生通过数学活动，获得基本的数学知识和技能，学会从数学的角度去观察事物、思考问题，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心.”本例与思考题旨在引领学生学会类比思考，触类旁通，学会学习，让学生感受到“跳一跳就可摘到桃子”的欣悦，激发学生学习数学的热情，进而掌握应用导数证明不等式的方法与策略，提升学生的数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养.

4.开枝散叶，合作探究

师：请看例2，你有什么想法呢？

例2 若∀x＞0，都有ex≤x+a，求a的取值范围.

生4：利用函数最值法，构造f（x）=ex-x-a，使得f（x）max≤0.

生5：利用变量分离法，转化为ex-x≤a在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=ex-x，只需g（x）max≤a.

师：两位同学的方法都很好！还有其他方法吗？

生6：应用数形结合的思想，作出函数y1=ex与函数y2=x+a的图像，如图4所示，函数y2=x+a的图像是斜率为1的直线系，易知a≤1.

图4

师：非常好！不过，数形结合思想的应用有待于严谨性的逻辑证明，正是“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休（华罗庚语）.”请给出本例三种思路的解答或几何解释.

（学生自主探索，教师巡视，适时点拨）

师：下面请思考：若∀x∈R，都有ex≥ax+1，求a的取值范围.

生：（学生提供思路，教师同步板演）令f（x）=ex-ax-1，则f′（x）=ex-a.

若a≤0，则f′（x）=ex-a＞0，f（x）在R上单调递增，此时，当x→-∞时，函数f（x）→-∞，不符合题意.

若a＞0，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

当x＜lna时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上单调递减；

当x＞lna时，f′（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上单调递增.

所以函数f（x）的最小值f（x）min=f（lna）=a-alna-1.

故只需f（x）min=f（lna）=a-alna-1≥0.

师：思路受阻了.如何由a-alna-1≥0来求解实数a的范围呢？这是一个超越函数不等式，怎么处理呢？

生7：（略显迟疑）再构造新的函数，二次求导可以吗？

师：我们一起来试一试.

令g（a）=a-alna-1（a＞0），则g′（a）=1-（lna+1）=-lna.

当0＜a＜1时，g′（x）＞0，所以g（a）在（0，1）上单调递增；

当a＞1时，g′（x）＜0，所以g（a）在（1，+∞）上单调递减.

故g（a）≤g（a）max=g（1）=0，当且仅当a=1时，等号成立，故a=1.

设计意图：本例的设计是在学生掌握基本知识和基本技能的基础上，引领学生对数学知识的理解、应用更透彻、更深入，适时地将应用导数证明不等式的“根”进行开枝散叶，提升数学核心素养，发展学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

5.纵深探索，追求灵动

师：请看例3，你有什么想法呢？

例3（2016年广州一模）已知函数f（x）=mex-lnx-1.当m≥1时，证明：f（x）＞1.

师：请思考：这是一个什么问题，处理这类问题的方法有哪些？你能尝试一下吗？

生8：当m≥1时，要证明f（x）＞1，只需证明mex-lnx-2＞0，设g（x）=mex-lnx-2，研究g（x）的单调性，求出最小值，使其最小值大于零即可.

师：我们一起来试一试.

证明：因为f（x）=mex-lnx-1，要证明f（x）＞1，只需证明mex-lnx-2＞0.

设g（x）=mex-lnx-2，则g（′x）=mex-

这是一个超越函数的方程，怎么处理呢？（思考片刻）

因为g′（1）=me-1＞0，当x＞0，h（x）=g′（x）→-∞，所以函数g′（x）=上有唯一零点x，且x∈00（0，1）.

因为g′（x0）=0，所以，即lnx0=-x0-lnm.

当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0.

所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）.

故g（x）≥g（x0）=mex0-lnx0-2=

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1.

本解法中，要找到h（x）=g′（x）＜0的一个解，是一个难点，我们可以灵活地运用极限的思想来加以说明.

师：我们还有什么方法简化以上的求解过程呢？本例中出现的m≥1，能否灵活地放缩呢？

师：（证法2）当m≥1时，f（x）=mex-lnx-1≥ex-lnx-1.

要证明f（x）＞1，只需证明ex-lnx-2＞0.

当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0.

所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）.

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1.

点评：当我们研究函数的极值大小时，经常遇到一些较难确定大小的代数式

故g（x）≥g（x0）=而x0又是一个无法算得的数值，这时我们利用可导函数在极值点处的导数为零这一条件（如lnx0=-x0-lnm），消去某些式子，得到较为简单的代数式使研究更为简便，发展学生的逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养.

师：我们认真审题会发现，本例中既出现了代数式ex，也出现了代数式lnx+1，而在例1、例2中论证了含有这样的代数式的两个重要不等式，那么我们可以怎样简化以上的求解过程呢？

生9：我有了一个优美的解法！

（证法3）易证明ex≥x+1（x∈R）（当且仅当x=0时取等号）.

所以ex-1≥x（当且仅当x=1时取等号）.

当x＞0时，两边取自然对数，则lnx≤x-1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）.

再证明mex-lnx-2＞0.

因为x＞0，m≥1，且ex≥x+1与lnx≤x-1不同时取等号，所以mex-lnx-2＞m（x+1）-（x-1）-2=（m-1）（x+1）≥0.

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1.

生10：老师，我的解法几乎是无字证明！

（证法4）要证明f（x）＞1，只需证明ex-lnx-2＞0.

只需证明（x+1）-lnx-2＞0，即x-1≥lnx，易证.

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1.

师：没有想到呀！你们真是青出于蓝而胜于蓝，老师为你们点赞！

设计意图：有些课堂表面看起来很流畅，也很热闹，但仔细分析就会发现学生对知识的学习往往是“浮光掠影”、浅尝辄止，“行云流水”的背后缺乏对数学内涵必要而深刻的理解.“学非探其花，要自拔其根.”（唐·杜牧）意思是说探究不能停留在表面上，要寻根究底，挖掘问题的数学本质，使整节复习课有一个灵魂.本例证法3、4可看作证法2的优化，通过对参数的巧妙处理，避免了参数造成的不便，思维更加深刻，方法更加灵活，掌握一些重要不等式中蕴含的思维方法，快速找到解题突破口，从而来强化学生的思维能力，提升学生的数学核心素养.

6.反思小结，提高认识

不等式的证明可直接构造函数，利用导数来研究函数的单调性，解题中要将待证不等式适当变形，恰当构造函数，转化为所熟悉的数学模型，然后进行求解，常用的有三种方法：直接求最值、构造函数法、放缩法等.

三、基于核心素养的高三数学复习的思考

1.对数学核心素养的理解

高中数学学习的目标是：获得进一步学习及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”），增强应用和创新意识；发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养，用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界；提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.［1］

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质.教学要始终围绕考生的核心素养的发展而进行.数学核心素养的提升，并不是简单地传授知识，而是在教学过程中要始终关注学生知识的获得过程，锻炼学生的思维能力，形成数学思想方法、注重情感熏陶和良好习惯的养成.这样学生通过数学的学习，思维能力得以提升，数学表达能力得以提高，学生能正确理解数学知识，并能用数学知识合理解释直至创造性地解决数学问题，这样才能发挥学生的核心素养，才能把提升学生的核心素养落到实处.

2.核心素养生成的教学要立足于核心素养的生成机制

教师的学科素养是学生核心素养提升的关键和前提，是教师知识素养和思维素养的结合.在教学中，教师通过整合教材，立足实际，根据学情，创设恰当的问题情境，依据教学的内容和学生的认知规律，充分关注学生的学情，以有利于学生建构知识的问题情境为主要标准.通过简单的问题情境，凸显数学知识的本质，使学生更容易参与到数学知识建立的过程中，从而主动建构数学知识，发展思维，提升核心素养.［2］

因为知识的习得过程是一个渐进的过程，是由具体到抽象，由特殊到一般的生成过程.教学中从学生的最近发展区进行设计教学活动，营造宽松的问题情境氛围，促使学生不断去思考，启发学生思考，重过程轻形式，重分析轻结果，注重知识的形成过程，让学生经历知识的形成过程，还原数学思维过程，获得必要的活动经验，培育学生的思维能力，把提升数学核心素养落实到课堂.

3.提升教师基于核心素养的教学素养

数学教学中，数学核心素养的落实策略的迫切性日趋引起重视.但问题是，素养是无法教的，它只能在一定的载体下通过潜移默化的熏陶才能逐步形成的.在学校教育中，这个载体主要是学科知识的学习，教师要为发展学生的核心素养而教，需要“仰望星空、脚踏实地”的行动，作为数学教育的实践者，特别是一线教师，发展学生的“核心素养”，课堂教学该怎么做？发展核心素养如何落实在课堂，这是摆在我们教师面前的现实问题.

数学教学要以有效的数学活动为支撑，以恰当的问题情境为依托.在数学教学中，教师应力求从学生熟悉的问题情境出发递进式设计数学问题，用强烈的丰富的感性材料，创设出使学生跃跃欲试、寻根问底的情境，把抽象的知识具体化，让学生在探索活动中进行主动建构，主动思考，提升思维能力，从而欣赏和感受数学的无穷魅力，体验数学的理性精神，提升数学核心素养.［3］

教学时，教师要有意识地选准具有示范性、发散性、延伸性的试题，加以引伸、拓宽、变化，引导学生从形式的“变”发现本质的“不变”，从本质的“不变”探索形式的“变”的规律，旁通知识的横向联系，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出数学思想、数学方法，领悟思维的诱导、调整、进阶、完善，重新全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括，精学一题、妙解一类，固化于型、内化于心，进而形成一个有序化、条理化、网络化的高效的有机认知结构，促使学生有层次地、递进地理解数学本质，从而提升学生的数学核心素养.这就是数学教学的核心.

1.岳峻.例谈数学核心素养如何落实在课题［J］.中学数学（上），2017（7）.

2.岳峻.以数学审题探核心素养如何落地［J］.数学通报，2016（11）.

3.章建跃.数学核心素养如何落实在课堂［J］.中小学数学，2016（3）.F