理解性学习理论下的数学概念教学设计——以“双曲线”为例

☉浙江省杭州市余杭中学 杨 劲

数学理解性学习一直以来都是教育研究的热点问题.所谓数学理解，就是运用数学思维对数学课堂上的学习对象进行有效的加工，并通过数学语言描述学习结果的过程；理解性学习就是建立在数学理解基础上的学习过程，就是学习者运用先前的知识，在新的情境下进行个体心智运作和社会文化中介的交互的意义建构，并不断获得理解的探索和发展过程［1］.从概念构建的角度来看，概念本身又是理解学习的产物，是学生关于某个数学观念的浓缩.因此，理解性学习的理论对于数学概念的教学具有重要的指导意义.下面笔者就以“双曲线”为例，立足理解性学习的不同层次，谈谈理解性学习理论下的概念教学.

一、立足经验性理解，展现概念“自然”的定义过程

经验性理解是指学习者基于自身经验对学习对象的起始性理解.这里的“自身经验”一方面指的是学习者对日常生活中的真实世界与客观对象的一种感悟与认识，即生活经验；另一方面指的是学习者已有的学习经验，比如，已有知识、思想方法体系.

学习双曲线之前，学生已经具备了以下“自身经验”，如下表所示：

自身经验生活经验 学习经验先前内容圆①生活中的圆周运动；②用圆规画圆①用圆的几何性质刻画圆的定义；②用坐标法推导圆的方程；③圆的几何要素：圆心与半径椭圆①行星运动轨迹；②切割圆锥得到“椭圆”；③用“绳子”画椭圆①用椭圆的几何性质刻画椭圆的定义；②中心建系，用坐标法推导椭圆的方程；③椭圆标准方程化简原则；④椭圆的几何要素：焦点与长轴；⑤离心率决定椭圆的圆扁程度

通过对“自身经验”的分析，立足学生的经验性理解，我们就可以向学生呈现双曲线“自然”的定义过程，可以通过以下问题串进行引导与启发.

问题1：圆锥曲线有几种，它们是怎样得到的？

意图：引导学生回顾切割“圆锥模型”的场景，引发对三种曲线“同源性”的思考，即学习椭圆的过程可以移植到双曲线中.

问题2：椭圆是如何定义的，如何画椭圆？

意图：通过回顾椭圆的定义过程，明确圆锥曲线定义的原理——用几何性质来刻画曲线，而几何性质是通过“画图”的方式发现的，为双曲线几何性质的提炼提供可以借鉴的路径.

问题3：椭圆的定义包含了哪些关键几何要素？

意图：由于没有能力直接“作”双曲线，只能先分析椭圆的几何要素，类比椭圆的定义方式，通过“改造”椭圆定义得到双曲线定义.

问题4：到两定点距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，你能对这个定义进行改造吗？

意图：由“和”想到“差”是比较自然的思维过程，在这个猜想的基础上，通过动手操作或者几何画板演示，从而逐步发现双曲线的几何性质，进而提炼双曲线的定义.

经验化理解通常发生在学习的初始阶段，它是一种低层次理解，它包含诸多的个人经验成分，往往具有模糊、易错的特点，比如，上述设计中，“双曲线”几何性质发现过程中，不可否认，把“和”变成“差”存在着“运气”的成分，如果运气不好，就很难达成学习目标，所以必须要把经验性理解上升到形式化理解.

二、立足形式化理解，构建概念“系统”的获得路径

形式化理解意味着学习者对自身知识经验的一种抽象性的整理、组织、概括与重新表征，能对数学的形式化符号与语言进行简明深刻的本质化认识［2］.

【操作验证1】旦德林双球模型（图1）

图1

因为PM与PF′分别与球面相切，切点分别是M与F′，所以PM=PF′，同理可得PQ=PF.

则PF′-PF=PM-PQ=QM（定值）.

【操作验证2】折纸游戏

第一步：在矩形的白纸上，画一个圆，圆心记作F1.

第二步：在圆F1外任取一定点F2.

第三步：在圆F1上任取一点P1，然后将纸片对折，使得点P1与点F2重合，并且留下一条折痕，为了看清楚，可以把折痕画出来（如图2所示）.

图2

图3

第四步：再在圆F1上任取其他的点，然后重复步骤三.这样继续下去，得到很多折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线.

证明：如图3所示，曲线上的点是由折痕和P1F1相交而得到的，不妨设为M.根据折纸原理，折痕其实就是垂直平分线，可知|MF2|=|MP1|.所以|MF2|-|MF1|=|MP1|-|MF1|=R（圆的半径），即动点M满足到两定点的距离之差为常数，符合双曲线的定义.

意图：通过动手操作，一方面进一步验证“猜想”的正确性，深化对双曲线定义的形式化理解；另一方面，能够系统地获得对圆锥曲线定义的统一认知，因为通过旦德林双球模型、折纸游戏同样可以得到椭圆与抛物线.

从经验性理解上升到形式化理解直至结构化理解，学习者在理解的层级上已经向前迈出了一大步，但形式化理解只局限于定义的本身，无法揭示定义的外延及与其他数学对象的联系，因而其理解的程度在丰富性、关联性与精细化方面都显欠缺，所以还要把形式化理解上升到结构化理解的层面.

三、立足结构化理解，揭示概念“丰富”的外延体系

结构化理解实质上是一种结构关联性理解，其着眼点是在一种知识的关系脉络中把握相关知识的内涵与本质.数学是一个逻辑结构很强的演绎体系，但这种逻辑结构体系往往需要学习者自己去为其赋予意义，从而在掌握数学中大大小小的结构的同时，建立一种对数学知识的结构关联性理解［3］.

在此之前，学生对于“双曲线”的认知并非一片空白，事实上，反比例函数的图像就是双曲线，学生不禁会提出这样的疑问：反比例函数对应的双曲线与圆锥曲线对应的双曲线是否是同一类曲线，两者存在着什么联系.对于这个问题，我们可以从双曲线标准方程的结构分析中找到答案.

从定义出发容易得到推论：以两条相交直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲线方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示为以直线方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线.

（未完，）

更为复杂的二次曲线x2+xy-2y2+3y-4=0⇒（x+2y-1）（x-y+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0为渐近线的双曲线.

至此，学生“双曲线”的认知经历了从形到数、再从数到结构的飞跃.

对某一具体的数学知识而言，所关涉的结构越复杂、越精细，学习者对其本质的理解亦是越深刻、越完善.正如布鲁纳所言：“每一门学科都有一个结构，一个贴切的、美妙的结构.这个结构提供有关事物的潜在的简约性，并且，通过学习它的本质，我们就能够达到对这个学科内在意义的理解.”

图4

如图4所示，需要强调的是数学理解发展不是以高一层次来取代低层次，导致低层次的思维形态销声匿迹，而是以低层次思维形态作为高层次思维形态发展基础；反过来，高层次思维形态的出现和发展又带动、促进低层次思维形态不断地由低水平向高水平的发展.因此，基于理解性学习理论下的数学概念教学是思维自我建构、自我完善的过程，这是理解性学习理论的核心.

1.沙涓.高中数学理解性学习的教学实践与思索［J］.数学教学通讯，2016（36）.

2.徐彦辉.高中生对数学理解性学习认识的因素结构［J］.数学教育学报，2010（4）.

3.吕林海.数学教学中的理解性学习探究［M］.北京：教育科学出版社，2013（10）.