基于逆向成型技术的曲面重建方法及数学模型

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(天津渤海职业技术学院， 300402)

一、模型重建的基本方法

在完成点云数据的预处理之后，下一步的工作就是对点云数据的处理生成三维模型的过程，在逆向工程技术中，模型重建的基本方法分为两类：一是用点、线、面的方式，由点云数据构建基本曲线，根据曲线通过一定方式形成曲面；二是用点云数据注解拟合曲面方法，通过曲面片之间的裁剪、过渡、拼接等方式完成曲面的三维模型重建[1]。

模型曲面重建过程是整个逆向工程的另一核心，为后续产品的加工、制造、分析等一系列工作奠定了基础，是逆向工程技术中最关键的一步。

(一)曲线的模型重建

在逆向工程中，基于点云数据通过一定方式得到点云的特征扫描线，再根据特征线运用插值或拟合的方法构造曲线，对曲线进行拉伸、旋转、放样等方式构造曲面模型，最后通过对曲面片之间的延伸、剪裁完成整个曲面模型的建立。曲线构面的优点是原理简单，曲面质量的关键在于曲线的拟合精度，但也存在一系列问题，一般用于曲面相对简单的曲面。

1. 提取特征扫描线。任何产品都存在表面形状的曲面特征，而特征线代表了产品曲面的外形特点，一般产品的特征线包括产品的边界线、轴线、旋转面的母线等。特征线重建的质量决定着重建模型曲面的质量,特征线一般通过截取特征曲面处点云方式获得，通过横纵两个方向的点云截取，获得密集的扫描线，从中比较选择较好的曲线作为特征曲线。

2. 生成构造曲线。直接生成的扫描线并不能用来构建曲面，并且曲线的精度并不一定符合要求，经常需要编辑调整。需要以构造曲线的方式来重建曲面，而构造曲线的生成方式通常有两种：一是将扫描线转化为构造曲线，这种方式完全以点云数据为基础，曲线精度较好。二是通过草图的方式直接草图创建逼近生成的扫描线。这种方法的优点是曲线灵活性较高，曲线精度能够较好调整，曲面形状易于编辑，因此这种方法为大部分技术人员所选择。

3.重建造型曲面。完成曲线的构建后，就相当于完成的曲面的骨架，以此为基础重建曲面。对于曲面特征不同的曲面，我们采用不同的曲面重建方式不同。类似曲面较简单的直纹面，我们可以采用拉伸特征曲线的方式来重建曲面，若曲面的旋转性较好，通过曲面母线和轴线以旋转方式来构建曲面，还有放样、扫掠、混合等方式针对不同特征的曲面来选择。

(二)曲面的直接拟合

对于曲面拟合，它是以对点云数据直接拟合的方式拟合。在曲面表面形状较复杂，曲面精度要求不高的情况下适用。

基于点云数据直接拟合曲面方法具体分为两种：

1. 插值法。插值法的定义是通过每一个数据点，直接插值完成曲面，此方法由于以原始点云数据为基础，曲面精度直接决定于数据采集的精度，完成曲面可调整性较差，光顺性效果难以保证。

2. 逼近法。此方法是创建一个逼近点云数据的曲面。软件的具体操作是，由点云构建自由曲面，通过设定曲面u、v方向的阶数来控制曲面的阶数，设定u、v方向的跨度确定控制网格的分布，设定标准偏差范围拟合曲面。曲面创建完成后，检测曲面的精度和光顺性，并通过编辑曲面的控制网格来调整曲面品质，提高曲面精度和光顺性。

曲面直接拟合的方法适用于玩具、石膏像、文物等曲面特征叫复杂，特征难以采集的模型。

(三)曲线曲面造型方法比较

曲线的曲面造型方式与曲面直接拟合的方式在技术路线上有所不同，如下图1图2所示。

图1 基于曲线模型重建图2 基于曲面模型重建

在具体的实践应用中，应该根据曲面模型几何特性及曲面的复杂性，选取不同的曲面造型方式。比如若某些曲面的边界精度要求较高，内部质量要求不太高时，可以采用第一种方法提取曲面的边界特征，对内部点云进行拟合，达到很好的效果。所以这两种方法并不是分割的，可以融合起来使用。

二、曲面的数学模型

曲面造型技术是逆向工程技术中最为关键的环节，重建曲面的质量决定了模型逆向的成功与否。从数据信息的采集开始，采集完成后，由点云数据拟合曲面，通过插值或者逼近的方式重建曲面。样条函数经过50多年的发展，经过了许多发展过程，从参数样条到Coons曲面造型，从Bezier曲线曲面到B样条甚至非均匀有理B样条(即NURBS曲面)，理论体系的发展得到了极大的丰富。参数曲面重构分为两大类：一是以Bezier曲面为基础的三角曲面构造方法；二是以B样条或NURBS曲线曲面为基础的四边域曲面造型。三者之间的关系如下图3 。

图3 三种描述方法之间的关系

(一) Bezier 曲线曲面建模理论

1. Bezier 曲线的表示方法和性质。不同形状的Bezier曲线都是由多段直线来定义的，这一系列的直线形成的多边形我们可称之为特征多边形。多边形的起始点与曲线起始点重合，多边形的起始边和终点边与曲线的始终点切线方向重合。方程式表示：

u∈[0,1] (1)

式中，fi(u)——曲线内插函数；

ri——曲线控制顶点。

或者用 Bernstein 多项式表示，设bi为空间n+1个点的位置矢量，曲线的插值公式为：

u∈[0,1] (2)

式中：Bi,k(t)——曲线基函数；

bi——控制顶点。

i=0,1,…,n(3)

若曲线的控制点位置发生变化，整个Bezier曲线的形状随之发生改变(如图4所示)。则Bezier曲线P(t)移动至Q(t)，如下式：

(4)

(5)

=P(t)+Bm,k(t)n

(6)

图4 Bezier曲线控制点改变影响

特征多边形顶点的位置变化改变了整个Bezier曲线。

Bezier 曲线所具有特点：

(1)端点性质，特征多边形的起点、终点与Bezier曲线重合，并且在端点处，特征多边形与Bezier曲线保持相切。

(2)对称性，若Bezier曲线多边形顶点的位置保持不变，颠倒顶点的位置次序，得到新的特征多边形，若以新的特征多边形来构造Bezier曲线，则新曲线与原来曲线重合，方向相反。

(3)几何不变性，坐标系的选择与改变不影响曲线的形状，而只与特征多边形的顶点位置相关。

(4)其他性质，Bezier曲线整体性较好，所以用它来做曲线的产品光顺性较好，这也导致了Bezier曲线调整的困难，精度难以控制，所以Bezier曲线的选择在于对其优缺点的把握。

2. Bezier 曲面的定义和性质。Bezier曲面利用Bernstein 基函数和控制顶点来完成的，是Bezier曲线的拓广。设p0(i=0,1,…,m)为(n+1)×(m+1)个空间点列，则m×n次参数曲面片定义如下：

u,v∈[0,1] (7)

曲面S(u,v)称为m×n次的Bezier曲面。相邻两空间点间用线段逐次相连所构成的空间网格叫特征网格。

Bezier方法，在CAD/CMD领域尤其是汽车行业发挥了重要的作用。但 Bezier曲线曲面方法有其自身的缺点。

(1)Bezier方法局部性能较差，多边形网格上的每个顶点的位置改变，都会改变曲线、曲面的整体形状，因而不能做局部修改。

(2)当遇到曲线、曲面的形状较复杂的情况下，我们需要用增加特征多边形顶点数的方法，此时增高了曲线、曲面的幂次，计算量变大。

(3)若曲面的幂次较高，Bezier曲线或曲面的形状与其控制网格就会有较大差异，直观性较差。

(二) B样条曲线曲面建模理论

1. B样条曲线的表示方法和性质

与Bezier曲线方法一样，B样条曲线方法也是采用控制多边形顶点定义曲线的，与Bezier曲线相区别的是，B样条曲线方法具有了描述复杂曲线的能力，并且很好的解决了局部调整的问题，用B样条基函数代替Bernstein多项式形成可调性较好的B样条曲线。设n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)，B样条曲线方程如下：

(8)

式中：di—— 控制顶点，控制多边形就是有控制顶点顺序连接而形成的。

Fi,k(t)—— B样条基函数，或者称为规范B样条。

作为B样条标准算法的de Boor-Cox递推公式，它的B样条递归定义如下：

(9)

式中：Pi,k(u)表示的是第i个k次B样条函数，i表示的是排号，k表示曲线的阶数。此时的K阶B样条曲线的控制多边形变数为n-k+1。如图5所示为一B样条曲线。

图5 B样条曲线图6 控制点移动对曲线局部影响

B样条基函数和Bezier基函数对各自曲线的作用基本相同，都受多种条件影响。而B样条曲线的局部可调整性来源于样条曲线中节点向量的增加，当其中一个控制点位置发生变化时，控制点局部曲线的形状也会随之改变，如图6所示，控制点E移动到E1和点E2时，曲线的形状发生相应变化。若选择多个控制点的位置不变，改变曲线的阶次，曲线的形状也将改变。

B样条曲线性质如下：

(1)局部性 B样条曲线区别于Bezier曲线的最大特点就是局部性。因为节点向量的增加，曲线的局部修改曾为了可能。

(2)规范性 。

(3)磨光性 控制顶点位置和数量相同时，若曲线的阶次增加，曲线越来越趋于光滑。

(4)局部支承性质。

(10)

同时它具有非负性特点。

(5)可微性或参数连续性。对于次B样条曲线，在非零节点区间内，每一个节点区间内都是无限可微的，又叫无穷阶参数连续性；定义域内重复度为r的节点处k-r是次可微。

(6)几何不变性。

(7)凸包性。

2. B样条曲面的定义和性质。以B样条为基础构建的曲面就是B样条曲面，所以B样条曲线的所有特点B样条曲面都同样拥有，设(m+1)×(n+1)个控制顶点，创建参数曲面，曲面表达式如下：

(11)

式中：Ni,k(u)——k次B样条基；

Nj,i(v)——l次B样条基。

基于B样条曲线的B样条曲面同样具有局部修改的功能，通过对控制顶点的位置移动，曲面局部形状也随之改变，B样条方法的产生极大的提高了外观产品的设计与修改能力。在曲面光顺性方面，B样条曲面具有曲面间连接达到G2连续的特点，很好的保证了曲面的光顺性。

(三)非均匀有理B样条(NURBS)曲线曲面建模理论

随着产品质量的不断提高，在遇到圆锥曲线或者解析曲面的时候，B样条方法并不能很好的表达，曲线曲面的数学表示不统一，产品的几何形状存在多样性，表达不精确。

NURBS曲线曲面方法区别于B样条方法的地方在于NURBS方法加入了每个控制点的权因子，控制点间得以以不同权重的方式诠释曲线曲面，通过对控制顶点的位置和权因子进行调整这种途径，来设计各种曲线曲面。

NURBS方法能对复杂曲面进行相对比较灵活的表达，在CAD/CAM系统中得到了广泛的使用。基于NURBS方法在表达二次规则曲线曲面的突出能力，权因子的控制特点，在1991年时被国际标准化组织(ISO)定为了STEP国际标准，用于不同曲线曲面数据的交换衔接，成为产品外形表达的工业标准。

1. NURBS 曲线的表示方法和性质。定义：次NURBS曲线定义为：

(12)

(13)

式中：

Pi——控制顶点(控制多边形顶点矢量)，i=0,1,…,n；

Ni,p(u)——p次B样条基；

ωi——控制顶点Pi的权因子，第一个权因子ω0和最后一个权因子ωi必须大于零，中间剩余权因子ωi大于等于零，以防止分母为零使曲线失去控制，若权因子为负，则曲线失去凸包性。若ωi=1，则成为一般B样条曲线。

在NURBS曲线中，权因子ωi起到的作用是影响了[ui，ui+p+1]区间内对应的曲线形状。若ωi=0，Ri,p(u)=0，p(u)是图中直线最下端的点A，控制顶点的改变对曲线的形状没有影响，若ωi=1，p(u)是图中直线上的B点；当ωi不在区间{0,1}之间时，p(u)在图中直线上的点Bi位置。

图7 阶数/控制点数对曲面影响

如图7是阶数/控制点对曲线的影响。

非均匀有理 B样条具有以下特点：

(1)由于NURBS曲线是B样条曲线的继承和发展，所以它包含B样条曲线的所有优点。

(2)NURBS曲线的局部修改方式更多，NURBS曲线不仅可以通过调整控制顶点改变曲线形状，又增加了改变权因子的方式来改变的曲线形状。

(3)NURBS曲线在线性变换条件下，其几何形状是不变的，曲线再变换是等价的，可进行一系列操作。

(4)对二次初等曲面的表达性能较好。

2. NURBS 曲面的定义和性质。NURBS曲面是NURBS曲线的拓广。对于给定的一条k×l次 NURBS曲面可表示为：

(14)

(15)

式中：Pi,j——特征网格控制点；

ωi,j——控制点权因子；

Ni,p(u)——u向p次样B条基函数；

Nj,q(u)——向次样条基函数；

Ri,p,j,q(u,v)——双变量有理基函数。

NURBS曲面和NURBS曲线几何性质具有一定的相似行，现给出

NURBS曲线相关性质：

1) 局部性。

2) 强凸包性。

3) 连续性。

4) 在进行仿射和透视变换过程中具有不变性：曲面在旋转、平移、比例、剪切等线性变换时可以保持原有形状，且坐标系的选择对曲面形状不产生影响。

5) 若某曲面上某一点控制顶点Pi,j的权因子ωi,j等于零，则该控制顶点对曲线没有调节作用。

NURBS 曲线曲面拥有独特性质，目前在CAD/CAM领域已经取得广泛应用，目前多数CAD软件都是在NURBS为基础进行构建起来的。

三、小结

本文重点介绍了曲面重建过程中的两种曲面重构方法：点线面的传统曲面创建方法和由点云直接拟合曲面的方法，阐述了两种方法的原理并且对比了两种方法的在曲面重建当中的优缺点，为后续曲面的构建奠定基础。

其一，着重研究了Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面的理论基础，分析了Bezier曲线曲面在整体式曲线曲面构建方面的优点，并且总结了Bezier方法的缺点；

其二，研究了B样条方法区别于Bezier方法的特点及解决的问题；

其三，对NURBS方法的优点与B样条方法进行了比较，并且分析了NURBS曲线曲面权因子的作用。

对上述三种曲线曲面建模方法进行比较深入的研究，为我们选择合适的曲面重构方法奠定了理论基础。

[1]王秉操,王殊轶,毕东东,等.传统方法与快速曲面方法进行复杂曲面重建的比较[J].中国组织工程研究,2013,(17).

[2]Y. Jun, V. Raja, S. Park. Geometric Feature Recognition for Reverse Engineering using Neural Networks[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2001,(4).

[3]郑中建.逆向工程中基于点云截面曲线特征的曲面模型重建与修改[D].长春:东北大学,2011.

[4]赵柳.基于点云数据的逆向技术研究与设计[D].中北大学,2010.

[5]Floater M. Parameterization and Smooth Approximation of Surface T riangulations[J]. Computer Aided Geometric Design.1997,(14).

[6]K. Upreti; G. Subbarayan. Signed algebraic level sets on NURBS surfaces and implicit Boolean compositions for isogeometric CAD-CAE integration[J]. Computer-Aided Design.2016,(11).