利用粒子群优化算法快速、稳定反演瑞雷波频散曲线

蔡 伟 宋先海*② 袁士川 胡 莹

(①中国地质大学地球物理与空间信息学院，湖北武汉 430074；②中国地质大学(武汉)湖北省地球内部多尺度成像重点实验室，湖北武汉 430074)

1 引言

瑞雷波勘探[1]具有无损、高效、经济等特点，越来越受到浅地表地球物理和地质工程界的重视。瑞雷波是一种由纵波和横波干涉形成、并沿自由表面传播的波，它具有衰减速度慢、信噪比高、抗干扰能力强以及在层状介质中产生频散等特点，已被广泛应用于获取浅地表、岩石圈或地幔的横波(S波)速度结构信息[2-4]、近地表地层的品质因子[5]、路基压实度[6]等。诸多学者也对其进行了研究，如瑞雷波反演[7-9]、瑞雷波数值模拟研究[10-13]、利用群速度估计浅地表横波速度[14,15]等。

瑞雷波勘探可分为三个过程：面波数据采集[16]、拾取频散曲线[17]和频散曲线反演[18,19]。在正确拾取瑞雷波频散曲线之后，其反演是获取可靠的近地表S波速度剖面的关键步骤[20]。多数局部线性化优化方法已被用于反演瑞雷波频散曲线，并且在各种商业软件中占据主导地位，如最速下降法、L-M算法的最小二乘法等。然而，与大多数其他地球物理问题一样，瑞雷波频散曲线反演是高度非线性、多参数、多极值的。因此，局部线性化的方法易收敛到局部极小值，是否成功在很大程度上取决于初始模型的选择以及偏导数计算的准确性。为了克服这种局限性，蒙特卡洛法、遗传算法、模拟退火法[21]等全局优化方法被广泛应用于瑞雷波频散曲线的反演中。

粒子群优化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法是由Kennedy等[22]于1995年提出的，它是一种全局优化策略，模拟在鸟群(粒子)搜寻食物中观察到的群体行为，并通过简单的搜索策略不断地更新位置与速度，引导算法搜索到最优解。近几年来，PSO已成为最流行的自然启发优化算法之一，并引起了诸多学者的关注，他们试图以改进粒子群优化算法参数的方式获得理想的优化效果。Shi等[23]在原始的PSO算法中引入惯性权重增强其搜索能力；Clerc[24]引入了收缩因子以降低PSO的不稳定性。

PSO是一种新颖有效的优化方法，并在地震勘探中得到了较好的应用[25-27]。笔者尝试将PSO算法应用到近地表瑞雷波频散曲线的反演中。为了评价PSO算法对瑞雷波数据反演的有效性与稳定性，首先对三个典型地质模型的理论频散曲线进行反演，并分析算法的抗噪能力。然后，用模拟退火(Simulated Annealing,SA)法与PSO进行对比，分析两种方法的优劣。最后，反演了来自美国怀俄明州某地区的实测数据[5]，以检验PSO算法对瑞雷波频散曲线反演的适用性。理论模型试算与实测资料分析的结果表明，PSO反演瑞雷波数据具有快速、稳定、适用性强的特点，可有效地对瑞雷波频散曲线进行定量解释。

2 PSO算法的基本原理

PSO算法是一种基于迭代的优化方法，可对许多不同领域的问题进行优化，它的基本概念源于对鸟群捕食行为的研究[22]。PSO是一种简单、直观、多功能的算法，具有非常好的收敛性质，它可以在较大的搜索空间中找到最优解，且节省时间。PSO的工作原理如下。

(1)个体或粒子由向量表示，其长度为优化问题的自由度。

(2)开始时，在搜索范围内随机地初始化粒子群位置和速度，并计算每个粒子的适应度值。

(3)每个粒子都记忆自己的最优位置，随着时间的推移，粒子将通过跟踪两个极值来更新自己：单个粒子的最优位置称为个体极值点(用p表示)；所有粒子的个体极值中的最优位置称为全局极值点(用g表示)。

粒子的速度和位置的更新方程为[22]

(1)

以上是基本的PSO算法，现已提出了许多改进策略来克服PSO在后期搜索速度慢等缺点。其中最具代表性的是Shi等[23]引入了惯性权重，即对速度更新方程加惯性权重ω，称之为标准PSO(SPSO)算法，其速度和位置更新方程为

(2)

在PSO中，用惯性权重ω控制前面的速度对当前速度的影响，较大的ω可以加强PSO算法的全局搜索能力，而较小的ω能加强局部搜索能力。基本PSO算法是ω=1的情况，因此在后期缺少局部搜索能力，从而导致解的精度不高。文中采用自组织调整惯性权重ω的策略，该策略使PSO在前期具有较大的ω，从而使PSO具有较好的全局搜索能力；并在后期具有较小的ω，从而使PSO具有良好的局部搜索能力，以提高解的精度。自组织的惯性权重定义如下

(3)

其中：k为当前的迭代次数；K为最大迭代次数；ωs和ωe分别为初始的和终止的惯性权重。在本文中ωs取0.9，ωe取0.4。

另外，Clerc[24]研究发现，收缩因子有助于确保PSO算法收敛，即将粒子群速度更新方程表述为

(4)

引入收缩因子能确保系统行为最终收敛，可以有效搜索不同区域，能得到高质量的解。将ω和χ两种策略综合起来，可形成带ω和χ线性递减的PSO(W-K-PSO)算法。其速度更新方程为

(5)

3 理论模型试算

在瑞雷波勘探的实际应用中，基阶波能量较强、较易观测到，分布也较广泛，故本文采用基阶波频散曲线反演横波速度结构。Xia等[7]的研究表明，与瑞雷波频散曲线特征变化关系最密切的是地层的横波速度和地层厚度，其次是泊松比和地层密度。因此，为减少反演时的计算量及其他参数的影响，本文只反演横波速度和地层厚度，而泊松比、密度这些参数假定是已知的。另外，在实际应用中，通常没有足够的先验信息估计浅地表的横波速度和地层厚度。为了更符合实际情况，使用了较宽的模型参数搜索范围。在后面所有的理论模型测试中，搜索区域的下限和上限设定为与真实值相差50%或更大。使用相同的PSO反演参数对理论模型的无噪声、含噪声数据以及实测数据进行20次独立反演测试。反演参数设置为：种群粒子xi=(V1,V2,…，Vj，…，VL,H1,H2,…,Hj，…，HL-1)。其中：Vj是第j层横波速度；Hj是第j层地层厚度；L为地层层数，种群粒子的自由度为N=2×L-1。本文采用的理论模型均为4层模型，故L=4、N=7，种群数量设置为5×N， 迭代次数为100， 加速系数分别为：c1=2，c2=2。在实际中也可适当增大c1，减小c2，尽量满足3.0≤c1+c2≤4.0，如果c1与c2设置不当，则容易使算法早熟收敛，导致反演失败。

瑞雷波频散曲线反演的过程是一个求解目标函数最小值的优化问题。反演的目标函数为相速度实测值与理论值的均方差(RMS)，即

(6)

为了检验和评价PSO的有效性和稳定性，使用了三个理论地质模型。这些模型可用于模拟浅层工程勘察中经常遇到的实际地质模型。表1所示的模型A是一个横波速度递增型的四层地质模型；表2所示的模型B是一个含有低速软夹层的四层地质模型，比如常见的路面结构；表3所示的模型C是一个含有高速硬夹层的四层地质模型。对于模型A和C，在5～100Hz的频率范围内计算基阶模式频散曲线。但对于模型B，只在5～60Hz范围内计算基阶模式频散曲线，因为实际上在高于60Hz的频率范围内，模型B的基阶波是观察不到的。

表1 模型A：四层速度递增型地质模型参数及反演搜索范围

表2 模型B：四层含低速软夹层地质模型参数及反演搜索范围

表3 模型C：四层含高速硬夹层地质模型参数及反演搜索范围

3.1 无噪声理论数据反演分析

首先采用PSO对无噪声的理论数据进行反演，模型A、B和C的反演结果分别如图1～图3与表4～表6所示，表中参数VSi表示第i层的横波速度，Hi表示第i层的厚度。可以发现即使在没有足够的横波速度和厚度的先验信息的情况下，PSO反演模型的模型响应仍然和真实模型的频散曲线几乎完全拟合(图1a、图2a、图3a)，且各个模型的真实值均被PSO精确地反演和重建(图1b、图2b、图3b)。模型A、B、C的模型参数平均相对误差分别为2.04%、1.86%、0.67%。由此可见，PSO可以有效地对理论瑞雷波频散曲线进行反演。

3.2 含噪声理论数据反演分析

在实际应用中，拾取的瑞雷波相速度不可避免地存在噪声[20]，数据噪声会导致反演算法的不稳定，还会导致反演算法找到的解并不是真正的解，为了检验和评价含噪声的瑞雷波数据对PSO性能的影响，在前面设计的3个理论模型中分别加入10%的白噪声作为随机扰动，然后分别进行反演。

图1 模型A的不含噪声理论数据的反演结果 (a)不含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)； (b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)

图2 模型B的不含噪声理论数据的反演结果 (a)不含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)； (b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)

图3 模型C的不含噪声理论数据的反演结果 (a)不含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)；(b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)表4 模型A：含噪声与不含噪声数据反演结果统计表

参数真实值不含噪声含10%噪声反演结果相对误差/(%)标准差反演结果相对误差/(%)标准差VS1/(m·s-1)200.00199.940.030.43202.621.310.57VS2/(m·s-1)250.00251.700.6820.53265.996.4025.08VS3/(m·s-1)350.00353.801.0811.73351.110.3220.36VS4/(m·s-1)450.00450.100.020.53447.180.631.25H1/m3.002.942.020.343.165.430.41H2/m2.002.209.920.292.073.370.51H3/m5.005.030.560.514.813.840.67

表5 模型B：含噪声与不含噪声数据反演结果统计表

表6 模型C：含噪声与不含噪声数据反演结果统计表

加噪声后的反演结果模拟响应如图4～图6所示。从图中可以看出，PSO在对含有噪声的数据反演时仍具有较强的稳定性，反演模型的频散曲线均能较好地拟合理论值的频散曲线。模型A、B、C的模型参数平均相对误差分别为3.04%、3.53%、2.54%(表4～表6)。由此可见，PSO反演瑞雷波频散曲线具有良好的稳定性。

为了检验PSO的收敛性，需要分析在算法迭代过程中，最小目标函数值是否随着迭代次数逐渐减小。以模型C为例，对模型C的不含噪声和含噪声的理论数据反演迭代过程中最小目标函数的变化进行了分析，如图7所示。由图可见，最小目标函数值在前20次迭代中快速收敛，然后逐渐收敛到零值附近(实心圆点)或某一常数附近(实线)，这表明PSO已经完成了对最优解的搜索。由此可见，在无噪声和有噪声的情况下，PSO反演瑞雷波频散曲线均具有较好的收敛性。

3.3 PSO与L-M算法和模拟退火算法的对比分析

为了比较PSO与常规优化算法的搜索性能，本文选择了非线性最小二乘法(Levenberg-Marquart，L-M)算法和模拟退火法与PSO进行了对比。首先采用L-M算法对模型C的不含噪声的理论数据进行了两次反演实验，反演时分别设置了不同的初始模型I1和I2，反演迭代次数均为20，且均已收敛，反演结果如表7和图8a所示。当初始模型为I1时，反演拟合残差为1.0×10-6，其反演模型R1与真实模型几乎完全一致，反演频散曲线与真实频散曲线也几乎完全拟合。由此可见，当初始模型设置为I1时，其反演具有较快的收敛速度和较高的反演精度。但当初始模型设置为I2时，反演拟合残差为3.44， 反演频散曲线与真实曲线虽拟合较好，但拟合程度远不如初始模型为I1时的拟合程度，而且其反演模型R2与真实模型相差较大。由此可见，当初始模型设置为I2时，反演收敛到了局部极小值附近，导致反演错误。通过以上论述可知， L-M算法的反演结果可靠性严重依赖于初始模型的选取，另外，L-M算法还涉及偏导数的计算，雅可比(Jacobian)矩阵的求取精度也将直接影响反演结果的质量，而PSO算法大大降低了对初始模型的要求，用于瑞雷波反演是相当实用的。虽然PSO的计算效率不及L-M算法，但能确保反演模型的正确性，相对于易陷入局部极值的L-M算法来说，其反演精度得到了较大的提高。

图4 模型A的含10%白噪声理论数据的反演结果 (a)含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)； (b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 C真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)

图5 模型B的含10%白噪声理论数据的反演结果 (a)含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)；(b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)

图6 模型C的含10%白噪声理论数据的反演结果 (a)含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线)；(b)搜索范围的下界和上界(虚线)、 真实模型(点虚线)、带有标准差的反演模型横波速度剖面(实线)

然后，本文采用SA对模型A的不含噪声的理论数据进行了反演。为了更好地比较PSO和SA的性能，使用相同的搜索空间、群体大小和迭代次数进行SA反演，反演结果和收敛曲线分别如表8和图8b所示。由图可见，PSO明显比SA具有更快的收敛速度，而且PSO能收敛到零值附近，而SA收敛到2.5左右时似乎无法进一步收敛，同时也导致SA不能获得更精确的解，SA反演的模型参数的平均误差为4.85%，而PSO的仅为2.04%。另外，本文对PSO和SA反演时间进行了统计，发现SA耗费的时间为PSO的4.17倍，由此可见，PSO比SA具有更高的计算效率、更快的收敛速度和更高的求解精度。

表7 模型C(不含噪声)：PSO与L-M算法反演结果统计表

表8 模型A(不含噪声)：PSO与SA反演结果统计表

图8 不含噪声数据PSO与L-M算法和SA的对比 (a)模型C的不含噪声数据(实心圆点)和反演模型频散曲线(实线和虚线)； (b)模型A的不含噪声数据PSO与SA的收敛过程的对比

4 实测资料分析

为了进一步检验PSO算法的适用性，利用PSO对Xia等[5]在美国怀俄明某地获得的地震数据进行了分析(图9)。采用48个8Hz垂直分量检波器，道间距为0.9m，最小炮检距为0.9m，震源采用锤击震源。

由炮集记录提取得到频散能量图(图9b)，并从基阶波能量上拾取实测数据(图中黑色实心点)，然后采用PSO对其进行反演，与反演理论数据类似，只反演横波速度和厚度、固定密度和泊松比。根据其测井数据，可将地层大致划分为5个层位，然后根据测井资料的横波速度范围粗略估计PSO反演的模型搜索空间，并根据测井资料所反映的地下岩性来估计各层的泊松比和密度。模型搜索空间和泊松比以及密度的设置如表9所示。

利用PSO反演拾取的基阶波相速度，其最小目标函数随迭代次数的变化如图10b所示。由图可见，算法在迭代100次之后已经收敛。反演所获得的该地区的横波速度模型(图10c中实线)与Xia反演的横波速度模型(图10c中带方块的实线)基本吻合，与测井资料(图10c中带空心圆的实线)在10m深度以内吻合较好，但在10m深度以下反演模型与钻孔资料差别较大，可能是由于瑞雷波频散能量低频段分辨率低，提取误差较大所致。图10a中的实线表示根据反演结果计算的相速度，其与测量值(图10a中的实心点)也十分吻合。由此可见，PSO反演瑞雷波频散曲线具有良好的适用性。

图9 怀俄明地区地震数据(a)与频散能量图(b)

图10 怀俄明地区瑞雷波相速度反演结果 (a)实测数据(实心圆点)与反演模型频散曲线(实线)； (b)最小目标函数值随迭代次数的变化情况； (c) 测井值与反演模型剖面对比表9 PSO反演的模型搜索范围及模型参数设置

层数横波速度m/s厚度m泊松比密度g/cm31100～3001～50.382.02100～4001～50.382.03100～6001～50.352.04200～6001～50.352.05200～800∞0.302.0

5 结论

文中采用PSO对瑞雷波频散曲线进行了反演，反演中设置了较宽的模型搜索范围来模拟实际应用中没有足够先验信息的情况。首先采用无噪声、含噪声的理论数据对PSO进行了有效性与稳定性实验，然后将PSO与SA进行了对比，分析了PSO的收敛效果，最后用来自美国怀俄明地区的实测数据检验了PSO的适用性。理论数据和实测资料的反演实验结果表明：

(1)PSO是一个有效、稳定、适用性强的全局优化算法，可将其应用于瑞雷波频散曲线反演；

(2)PSO比传统的全局优化算法SA具有更快的收敛速度和更高的求解精度，从而可加快反演速度，使得反演结果更准确、可靠。

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