带有双滞量的捕食系统的分支分析

李 霞

（河北地质大学<数理学院> 河北 石家庄 050011）

1 引言

由于产期，捕食时间以及食物供给被取代等因素的影响。Volterra[1]等人首先将滞量加入捕食-食饵系统中，这使得新的系统较之原系统呈现出更加复杂的动力学现象，因为当加入滞量后，平衡点将失稳，甚至会使种群密度发生振动的现象，参见文献[2]。

Wu[3]研究了偏泛函微分方程，得到了系统的结论及其可信服的应用实例。Lin[4]等人得到了偏泛函微分方程中心流形的存在性定理。值得注意的是，Faria[5]将她的规范型方法引入偏泛函微分系统中，为研究其Hopf分支及分支方向，分支周期解的稳定性，振幅及其在中心流形上投影的计算公式提供了可靠工具。

在以上文献的基础上，本文着重考虑了具有时滞的捕食系统（1.1），而系统（1.1）乃是熟知的Conway-Smoller常微分系统：

加入时滞之后，将变化为：

在本文中，重点研究（1.2）的稳定性及Hopf分支的存在性。

2 稳定性与分支分析

设条件

那么（2.1）在平衡点附近的线性化部分为：

由[6]中给出的关于（2.3）根的分布与横截性条件的结果，可以得到

定理2.1假设 分别为：

那么

既有文献已对（2.1）作了系统研究，当

3 讨论

具有时滞的空间扩散的种群模型遍及至各个邻域。本文仅考虑了捕食系统中的时滞效应，即带有双滞量的泛函与偏泛函微分方程组的稳定性与分支分析。首先给出滞量对强Allee效应常微分系统的影响，通过分析正平衡点的局部稳定性，得到了当滞量穿过一些临界值时系统在经历了Hopf 分支，而进一步分析Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性，这将是我们下一步要做的研究工作。

[1] Volterra V.Lecons sur la tlie orie mathematique de la lucte pour la vie [M]. Paris. Gauthiers Villars,1931.

[2] Dai.L.s.Noncontant periodic solutions in predatorprey systems with continuous time delay[J].Math.Biosci,1981,53:149-157.

[3] Wu. J.H.Symmetric functional differential eguations and nural networks with memory Trans.Amer.Math.Soc.1998,350:4799-4838.

[4] Lin.X.So.J W H,Wu.J. H.Center manifolds for partial differential eguations with delays,proc[J].Roy.Soc. Edin.A.1992,122:237-254.

[5] Faria T.Normal Forms and Hopf bifurcations for patial differential eguations with delays[J].Trans.Amer.Math.Soc. 2000,352:2217-2238.

[6] Wei JJ,Ruan S.Stability and bifurcation in a neural network model with two delays[J] Phy,D,1999,130:225-272.