浅谈初中数学的图形运动问题

施小洋

摘 要：随着近几年课程标准实施的影响，使得中学数学命题改革幅度相应增大。以浙教版数学为例，在教材中删去了部分原有的知识，更多地增加了图形运动的内容；而且其重点变为了图形运动的基本定义与理解，以及在坐标中图形的运动。

关键词：图形；平移变换；图形的运动

我国著名数学家华罗庚曾说过“形以数而入微，数以形而直观”。这是将数与图形结合后的精辟总结。因此，在新的课程标准实施后，初中数学课本内容更加贴近生活，相应的使得其解题方法也更加灵活多变。通过数与形之间的联系来思考并解决问题的思路，我们将其称之为数形结合思想，而教材中加重图形运动内容的比重正是对数形结合思想的完美体现。我们就以浙教版初中数学的图形运动为例，浅谈其中数形结合问题中的精髓。在图形的运动变换中，平移、旋转和翻折是最为基础的；图形的运动变换无疑是以确定的法则为依据对已有图形（或其中一部分）加以位置变化，然后在变换前后的两个图形中理清它们之间的关系。具体如下：

一、平面中图形的平移变换

由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有点都向同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形变化叫做图形的平移变换，简称平移；移动的方向叫做平移方向，移动的距离叫做移动距离。

根据图形平移的定义，我们能够很容易得到：在图形平移后，其图形上每一点都沿着一个方向移动的距离都相同，因此图形的形状和大小在平移前后一定不会改变。而且，如果我们将一个图形在方格纸上进行平移变换后，能够很直观地看到这样的规律：

图形上移动前后的点所连成的线段是平行且相等的（或者说是在同一条直线上），而且图形移动前后对应的线段也是平行且相等的（或者说是在同一条直线上），其对应角也相等。这一点我们可以从下面这个例题中看到：

例1.怎样平移半圆P，使它的像与半圆Q组成一个圆。

解析：由图形平移的特性：图形在经过平移变换之后，其形状、大小、方向并不会改变，所以我们可以将整个半圆的移动看成是点P到点Q的移动（只有点P与点Q重合，两者才能组合成一个完整的圆），那么从P点到Q点就应先向右平移4个方格再向上平移2个方格。

二、图形的旋转规律

在教材中这样定义图形的旋转：一般的，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，往同一个方向转变同一个角度，图形的这种变化运动，就叫做图形的旋转，而这个围绕固定位置转动的点叫做旋转中心。

从定义上，我们可以提取到图形旋转的三要素：（1）旋转的方向。（2）旋转的中心。（3）旋转的角度。因此在进行教学时，应该提醒学生解题时注意这三要素。

例2.在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是多少？

解析：Rt△ABC绕点B旋转60°的过程，线段BC扫过的图形是一个圆心角为60°、半径为2的扇形，点C运动的路线就是一条弧，弧长为π。

对于图形的旋转，我们同样可以通过在方格纸中画出图形再根据其定义得其相应旋转后的图形之后，观察前后图像的变化与相似之处，此举非常直观地表现出旋转的一些特性：

1.图形经过旋转得到的图形与原图形全等。

2.对应点到旋转中心的距离相等。

3.旋转的角度就是任何一对应点与旋转中心的连线所成的角度。

除此之外，还有一个比较具有特质的定义是：如果一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个旋转的点的位置叫做对称中心。

三、图形的翻折

在新课标的教材中，翻折被定义为：把一个图形按某一条直线翻折180°后所形成的新的图形变化就是翻折。

在解决这类问题的时候，只需注意这几点：（1）在翻折前后两个图形是完全一样的。（2）对应点所连线段的垂直平分线就是它们的对称轴。在中考考查三大图形的运动时，掌握其特性是解题的秘诀。

例3.在圆柱形纸杯外侧有一只小昆虫，从A点到杯内B点去吃食物，而从A点沿母线到杯口C的长度为5厘米，且B点沿母线到杯口D的长度为3厘米，C、D两点之间的杯口弧长为6厘米，如果小昆虫想要以最快的速度吃到食物，请问小昆虫爬行的路程是多远？

解析：在这一题中我们需要将圆柱形杯侧面展开，作如上图所示的CD=6cm，且作点B关于杯口的对称点F，则DF=DB=3cm，通过延长AC到E，使得CE=3cm，则AE=5+3=8cm。

又由线段公理可知，A到B的最短距离为AF的长。由勾股定理得，AF=10cm。在这一题中充分体现了其对称图形特性掌握的重要性，不论在平时的图形运动中，还是在几何图形问题的考试中，无疑是一个重要的思路。

四、坐标中图形的运动

一般而言，在解决几何问题时，只需要将图形间的关系理清，然后运用相应的几何定理就能把几何问题轻松解决。但有时我们会发现在一些特殊的几何问题，只通过几何定理来思考解决问题是冗長甚至无从下手，这时候我们就应该运用另一种数形结合的方法——坐标，将几何问题放到坐标中往往能够化繁为简，轻松地解决问题。

那么，如何将图形与坐标结合？这就需要一个媒介——直角坐标系。

什么叫做直角坐标系呢？浙教版教材中是这样定义的：平面直角坐标系是由在同一个平面上互相垂直且又有公共原点的两条数轴组成的，我们称其为直角坐标系。一般来说，两条数轴，一条位于水平位置，另一条位于垂直位置，同时我们一般会取向右或向上的方向作为两条数轴的正方向。位于水平位置的数轴叫做x轴或横轴，位于垂直位置的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴合起来就叫做坐标轴，它们重合部分的原点O就称为直角坐标系的原点，而以点O为原点的平面直角坐标系记为平面直角坐标系

xOy。而且坐标轴有着这样的几个特性：（1）两条坐标轴是互相垂直的。（2）两条坐标轴的原点（O）重合于一点。（3）一般取坐标轴的向右、向上为正方向标上数字。（4）两个坐标轴之间的单位长度是相同的。

那么在直角坐标系中解决图形运动的问题，就需要图形在坐标系中有“位置”，这个“位置”就是图形在直角坐标系中的坐标。想要将两者之间的联系弄清就需要知道以下这几点：（1）在直角坐标系中，能够将一个图形经过坐标轴对称之后，得到新的图形，并且能够根据原图形的坐标写出对称之后的图形的坐标，这在坐标系中解决几何问题是很重要的。（2）能够根据一个已知的图形坐标将其沿坐标轴（x轴或y轴）的方向运动后得到图形写出它的坐标，并理清前后变化图形之间的关系。

无论从教材内容上看还是考试中题目的考查，为了使学生能够对数学有着探索的热情，初中数学教学的思想就需要不断创新改变，让学生能够有一个正确的学习态度，并且找到适合自己的学习方法。这更加需要进一步开发初中数学教学中数形结合的思想，将图形的运动观念更好地体现出来，让教师与学生有更多的沟通交流，活跃学生的解题思维，使得学生有更进一步学习的

目标。

参考文献：

[1]陈培培.数学实验，让课堂更精彩[J].中学数学，2016.

[2]徐伟健，吴冬琴.例谈生动渗透数学思想[J].教学与管理，2009.

编辑 鲁翠红