逆序数的计算及应用

刘益波

摘 要：逆序数在行列式的定义中起着非常重要的作用。而对于初学者而言，他们比较难理解逆序数的定义和计算排列的逆序数。特别是n阶排列的逆序数的计算。他们觉得异常的艰难。本文总结了从4个角度求逆序数的方法（“左右后小”方法、“左右前大”方法、“右左前大”方法和“右左后小”方法）。方法的命名其实就是按照既定的顺序和大小的比较来进行，很好理解和掌握。并将这些方法应用于计算行列式。这对于学生理解逆序数和计算行列式具有重要的意义。

关键词：逆序数 行列式 应用

中图分类号：O225 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（c）-0183-02

Abstract： The inverse number plays a very important role in the definition of determinant. For beginners， it is difficult for them to understand the definition of reverse order and calculate the number of reverse orders. Especially the calculation of the inverse number of n order arrangement. They find it difficult. This paper summarizes the methods of solving inverse ordinal numbers from four perspectives （"left and right back small"， "left and right front big"， "right left front big" and "right left back small"）. Method naming is actually in accordance with the established order and size of the comparison to proceed， a good understanding and mastery. These methods are applied to calculate determinants. This is of great significance for students to understand the number of inversion and calculate determinants.

Key Words： Inverse number； Determinant； Application

線性代数是理工科专业的一门重要基础课，对他们后续的专业课的学习有一定的价值。行列式则是线性代数这门课程的第一个重要工具，对于能否学好线性代数起着至关重要的作用。在行列式的定义中，排列的逆序数的作用比较明显，行列中每一项的符号就是由其逆序数的奇偶性来决定的。由此可见，逆序数在求解行列式时起了比较重要的作用，如何准确和快速地求出排列的逆序数就显得尤为重要。对于逆序数地计算用应用研究，佟伟[1]给出了两种计算方法，赵静[2]等给出了逆序数的应用价值，刘洁玉[3]讨论了逆序数的若干性质用其应用。本文旨在为了让学生更好地理解逆序数和计算逆序数。

1 逆序数的定义

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫作这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫作这个排列的逆序数。

2 逆序数的计算

计算一个排列的逆序数的直接方法是逐个枚举逆序，同时统计个数。例如在序列{2，4，3，1}中，逆序依次为（2，1），（4，3），（4，1），（3，1），因此该序列的逆序数为4。但是计算一个排列的逆序数的方法不只这一种。一般的教材都提供了两种求解的方法。经过作者几轮的线性代数的教学，发现排列的逆序数的求解有4个角度可以进行。

第一个角度：从排列的第一个数开始往右边数后面比其小的个数。简称“左右后小”方法。

第二个角度：从排列的第一个数开始往右边数前面比其大的个数。简称“左右前大”方法。

第三个角度：从排列的最后一个数开始往左边数前面比其大的个数。简称“右左前大”方法。

第四个角度：从排列的最后一个数开始往左边数后面比其小的个数。简称“右左后小”方法。

比如求排列532164的逆序数。

“左右后小”方法：τ（532164）=4+2+1+0+1=8

“左右前大”方法：τ（532164）=1+2+3+0+2=8

“右左前大”方法：τ（532164）=2+0+3+2+1=8

“右左后小”方法：τ（532164）=1+0+1+2+4=8

再比如求排列135…（2n-1）（2n）（2n-2）...42的逆序数。

解：“左右后小”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+1+2+3+...（n-1）+（n-1）+（n-2）+...1+0=n（n-1）

“左右前大”方法：

τ[135…（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+0+0+0+0...0+2+4...+（2n-4）+（2n-2）=n（n-1）

“右左前大”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=（2n-2）+（2n-4）+（2n-6）+...+2+0+0+0+...+0=n（n-1）

“右左后小”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+1+2+3+...（n-1）+（n-1）+（n-2）+...+1+0=n（n-1）

3 逆序数的应用

逆序数在计算n阶行列式的过程中起着非常重要的作用，一般来说，用定义来计算n阶行列式的题目都是比较特殊的题目，下面就给出较为简单的实例。从4个角度给出其计算逆序数的过程。

求解行列式

解：依据n阶行列式的定义可知Dn=（-1）τ[n（n-1）（n-2）...21]n

关键的问题就是求出排列的逆序数。下面从4个角度来求出其逆序数，从而计算出所得的行列式。

4 结语

逆序数在求解行列式时起了非常重要的作用。再求具体的排列的逆序数时，用一般教材所给的两方法就可以解决，但对于用定义求解n阶行列式或者更高阶行列式的算时，有时换个角度可能更好理解和计算。本文总结了从4个角度求逆序数的方法（“左右后小”方法、“左右前大”方法、“右左前大”方法和“右左后小”方法）。方法的命名其实就是按照既定的顺序和大小的比较来进行，很好理解和掌握。这对于学生掌握逆序数的计算有着重要的意义。

参考文献

[1] 佟伟.排列的逆序数的两种计算方法[J].科技资讯，2011（16）：184.

[2] 赵静，严尚安，余建民，逆序数的应用[J].数学的实践与认识，2002（6）：963-967.

[3] 刘洁玉.逆序数的若干性质及应用[J].吉安师专学报. 1999（6）：30-34.

[4] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.