简简单单 妙用无穷

张素芝

在平面直角坐标系中，任何一条直线都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，即方程Ax+By+C=O（A，B不同时为0）叫作直线的一般式方程.关于直线的方程我们一共学习了五种形式，即点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.但是，除了一般式以外的其余四种方程形式都有其局限性.例如，l为一条垂直于x轴的直线且过点（2，6），直线l的方程：x-2=0但直线l不存在点斜式和斜截式方程（因为直线l的斜率不存在），直线l也不存在两点式和截距式方程（因为直线l上任意两点的横坐标都相同，而且纵截距不存在）.说到这里，我们似乎已经看到了直线的一般式方程的优越之处.不过这只是其一，即它能表示平面内的任何一条直线.

下面，我们再探讨一下直线的一般式方程还有何优越之处.一、用直线的一般式方程判断两条直线的位置关系

已知直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=O，直线l₂：A₂x-+B₂y+C₂=0，则有

l₁∥l₂→A₁B₂-A₂B₁，=0且B₁C₂B₂C₁≠0；

l₁与l₂重合→A₁=λA₂，B₁=λB₂，C₁，λC₂（≠0）：

l₁⊥l₂→A₁A₂+B₁B₂=0；

l₁与l₂相交→A₁B₂≠A₂B₁.

当然，我们除了以上方法还可以用直线的斜截式方程对应的结论来进行判断，但是由于斜截式方程要求直線的斜率必须存在，使其应用起来有所限制.所以，尽管以上结论并不是用来判定两直线位置关系的唯一方法，但确实是最方便有效、最快捷的方法.

例1 已知直线l₁：ax+2y+6=0和直线l₂：x+（a-1）x+a²-1=0，（1）试判断两条直线是否平行；（2）l₁⊥l₂时，求a的值.

解 （1）若两条直线平行，则需要满足a（a-l）-2Xl=0

2（a²-1）-6（a-1）≠0，解得a=-1或2，a≠1或2，即a=-1，所以当a=-1时， l₁与l₂平行

（2）因为l₁⊥l₂，所以a+2（a-1）=0，解得a=2/3.

解决以上两个问题不需要使用斜截式方程对应的结论，那样只是舍简求繁.我们只需直接应用一般式方程对应的结论即可，解题过程简捷快速，而且容易理解.

二、用直线的一般式方程求点到直线的距离、两平行线间距离

我们在遇到求点到直线的距离，或者是两平行线间的距离时，直线的方程一定化成Ax+By+C=O（A，B不同时为0）的形式，再应用以上两个公式对应求解.这便体现了直线的一般式方程义一个优越之处.

例2 求过点P（2，-1）且与原点的距离为2的直线l的方程.

分析 对于以上问题，我们易分析出满足条件的直线有两条，其中一条直线可直接观察出来为x=2，那么另一条直线便不是通过观察就能得到的.思考解决办法，只有先设方程后应用点到线的距离公式.

例3若O（0，0），A（4，-1）两点到直线ax+a²⊥l₂y+6发现满足条件的直线不只一条，可能是多条.那么，我们需要一一分析、一一求解吗？如果我们将题中条件转化为点到直线的距离公式求解，一切情况便可统一处理，解法一目了然，清晰透彻.

分析 先由两直线平行的条件求m的值，再由两平行直线间的距离公式求n，整个过程都需要应用直线的一般式方程解决问题.

三、直线系问题

在直线系问题中，我们总结的一系列结论也都是应用直线的一般式方程求得，可观察以下结论：

以上五条结论均适用于求符合条件的任何直线，不会有漏解的情况.这也更加体现了直线的一般式方程应用之广，应用之便.如果在求直线方程的过程中，有一个已知条件，另一个条件待定时，便可从以上几点中选用合适的直线系方程来解决.

综上，已经能充分说明直线的一般式方程大有用处.在解决平行直线间的问题或是点到直线的距离问题时，把直线方程化为一般式形式，然后应用公式解决问题，这个过程就体现了直线的一般式方程的一般性.可以说，直线的一般式方程是对直线方程的系统性和整体性的完美展现.endprint