漫谈待定系数法

仝建

待定系数法是求直线及圆的方程的重要方法之一.一般需根据已知曲线类型，先设出方程表达式，然后由所给条件来确定未知系数，这样的方法就叫待定系数法，

下面结合几个例子给同学们谈谈如何使用待定系数法求解相关的问题.一、求直线的方程

例1 直线z过点（5，10）且到原点的距离为5，求直线l的直线方程.

点评 直线的点斜式方程是使用频率较高的一种直线方程形式，在使用时，需要考虑斜率是否存在，只有当直线的斜率存在时，才可以设其为点斜式方程，

另外，最后作答时，若没有特别说明，一般需将直线的方程写成一般式.

例2 已知直线z过点M（3， -4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

解析 若直线z过原点，则k=-4/3，所以y= -x，即4x+3y=0.

若直线l不过原点，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以设直线l的截距式方程为x/a+y/a=l，即x+y=a.

又因为l过点M（3，-4），所以a=3+（-4）=-1，所以直线l的方程为x+y+1=0.

综上知，直线l的方程为4x+3y=0或x+y+1=0.

点评 在求直线方程时，选择适当的形式，有助于运算的简化.例2中当l不过原点时，使用直线的截距式方程较方便.

同样也需要注意截距式方程的适用条件，只有当纵横截距都存在且均不为零时才能使用，

例3 在平面直角坐标系xoy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心C在l上，也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程.

解析 由圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C（3，2），所以过点A作圆C的切线斜率必存在.得k=0或k=-3/4.

故所求切线方程为y=3或3x+4y12=0.

点评 本题设直线的斜截式方程，与点斜式方程一样，也需在直线斜率存在的条件下才能使用，

二、求圆的方程

点评 根据条件选择恰当的圆的方程（标准方程或一般方程），会简化运算.一般的，条件中给出圆心、半径的信息较多时，设网的标准方程会更方便.

例5 圆c通过不同的三点P（k，0），Q（2，0），R（O，1），已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程.

解析 圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=O，则易知k和2为x²+Dx+F=O的两根，

由韦达定理，可知k+2=-D，2k=F，即D=-（k+2），F=2k，

义网过点R（O，1），故1+E+F一0.所以E一 2k 1.

故所求网的方程为x²+y²-（k+2）x（2足+1）V+2k一O，从而可知圆心坐标为（（k+2）/2，（2k+1）/2）.

因為圆C在点P处的切线斜率为1，所以k_CP=-1=（2k+1）/（2-k），解得k=-3.

所以D=l，E=5，F=-6.

故网C的方程为x²+y²+x+5y6=0.

点评 已知圆上的三个点的坐标信息，通常设圆的一般式方程更方便，例5中还需注意圆的几何性质（过切点的直线与圆心和该切点的连线垂直），建立方程求出未知参数.

圆的几何性质还有很多，较常用的是垂径定理，直径所对的圆周角为直角等，熟知这些性质有助于建立方程，求解未知参数的值.

二、总结

请同学们总结一下，待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法解题的基本步骤有三步：

第一步，确定所求问题含有待定系数的一般解析式；

第二步，根据待定系数的个数和恒等的条件，列出一组（一般与待定系数的个数相同）含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使所求问题得以解决.endprint