能量问题的常见分析方法

郁建石

一、临界状态分析法

任何事物在变化发展过程中总是要经历由量变到质变的过程，而其转折点就是一个临界。物理问题中分析其临界状态，往往是分析问题的切入点和关键。

例1 如图1所示，小球从高为H的光滑轨道由静止滑下，进入半径为R的竖直光滑圆轨道。求小球沿圆轨道运动的最大高度h。

解析 如图2所示，本题中小球在圆轨道运动中涉及两个临界位置：一个位置是与圆心在同一高度上的B点，如果小球运动的最大高度位置在B点以下，则小球在最高点时速度为零；另一个位置是圆轨道的最高点C，在该点时由合外力提供向心力，

如果小球能到达轨道上的该点，速度必须满足上述条件。因此本题应该分情况分析：

（1）若小球在圆轨道中运动的最高点在B点以下的P点，因ν_p=0，由A到P过程机械能守恒，有：mgH=mgh，不难得到：H=h.所以当H≤R时，上升的最大高度为H。

（2）若小球在圆轨道中运动的最高点在C点，

如果小球能到达轨道上的该点，速度必须满足上述条件。因此本题应该分情况分析：

例2 质量为M的小车以速度μ₀沿光滑水平向左运动。车上有摆长为l的单摆，摆球质量为m。现让小球由最大位移角θ处摆下，求下列情况下小球摆到最低位置过程中，摆线张力所做的功。（设M≥m。）

解析 在小球摆下来的过程中，线上张力大小和方向、摆球的位移都不太容易分析，因此直接计算摆线张力做功比较困难。本题中，由于M≥m，所以可以认为在小球摆下来的过程中小车的速度保持不变。如果以小车为参考系，摆线张力始终与运动方向垂直，所以张力不做功，因此在小车参考系中，小球的机械能守恒，有：

得：

其中ν为摆球运动到最低点时相对小车的速度，所以摆球相对于地面的速度为：

在地面参考系中，小球摆下来的过程中，重力和摆线的张力对摆球做功，根据动能定理，有：

三、递推法

当物体之间发生多次重复性的相互作用时，往往可以用递推的方法进行分析。这种方法通常是先分析某一次相互作用的情况得出结论，再根据多次作用的重复性和共同点，把结论推广，从而找到其通式，然后结合数学知识求解。

例3 把n块质量均为m、厚度均为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块叠放起来，如图5所示。至少要做多少功？

当然，本题也可以用等效法分析。

四、图象法

物理图象有时可以把一些抽象复杂的物理过程直观形象地呈现出来，利用图象的点（交点、拐点等特殊点）、角（斜率）、面（面积）等方面的分析解决问题。

例4 如图6所示，有一块底面积为S、高为C的长方体木块，浮在平静的湖面上，已知湖深为h，木块的密度为ρ，湖水的密度为ρ₀.现将木块用力按到湖底至少要做多少功？（不考虑木块按入湖底过程中水面高度的变化）

解析 若将木块缓慢地（或匀速）压到湖底所要做的功最少。此时可将整个过程分为两个阶段（如图7所示）：第一阶段是开始木块浮在水面压到刚好全部浸入水中，这一过程施加的外力是一变力；第二阶段是从木块从刚好全部浸入水中到湖底，这一过程施加的外力是一恒力。

开始时木块在重力和水的浮力作用下平衡，有：

得：

在第一阶段中，若木块在竖直向下的外力F作用下向下缓慢移动的距离为x，则此时由受力平衡得：

第二过程中外力F做的功可以直接计算出来，但是第一过程中外力F是变化的，用初等数学的方法不能直接求其做的功（当然由于外力是与下移的距离成正比的，可以求出此过程中的平均作用力来计算功，有兴趣的同学可自行分析）。这时可以作出外力F与向下移动的距离x的关系图象来分析。

根据上面的分析可以作出F-x图象如图8所示。

在F-x图象中，可以用图线所包围的面积来表示力F做的功，也就是图中梯形的面积。所以整个过程中力F做的功为：

将上面的有关结论代入整理得：

本题也可以用等效法来求解。

五、等效法

在一些物理问题中，一个物理过程的变化发展，一个状态的确定，往往是由多种因素共同决定的，在这些过程或状态中，如果某些因素所起的作用与另一些因素所起的作用效果相同，这时就可以用等效的方法进行分析，从而达到殊途同归的效果，有时还可将问题简化。

比如上面的例3中：将平放在水平地面上的砖一块一块叠放起来，如果换一个角度来看，将所有的砖块作为一个整体，相当于重心升高了，所做的功应该就是整体重力势能的增加值。

这就是将砖全部叠放起来做功的最小值，与上面的解结果相同，但分析过程较为简便。

如上面的例4中，如果从等效的角度看，用外力将木块压到湖底的过程中，一方面木块的重力势能减少，另一方面水的重力势能增加，如果能求出系统重力势能的变化，就可以计算外力做的功。

现在来分析木块压到湖底的过程中湖水重力势能的变化量。

如图9所示，将木块开始位置时分成水面上方和下方两部分。在木块压到湖底的过程中，木块下面的那部分相当于与湖水底部对应的同体积的水的位置对调，而下面那部分同体积的水的重力与木块的重力大小相同，在对调过程中，这部分水重心上升的高度与木块下降的高度相同，所以它们的重力势能的变化恰好抵消。而木块在水面上方的那部分向下移到水中过程，可以等效看成木块这部分将湖底对应的同体积水的空间填充，与此同时湖底中的这部分水则移到水面上，而由于不考虑木块按入湖底过程中水面高度的变化，可以分析这部分水重力势能的增加量。

这就是木块压到湖底的过程中外力所做功的最小值，得到与上面分析同样的结果。 六、微元法

在物理问题中，一些物理量的变化往往是连续发生的，这类问题通常要用微积分来解决，而在中学物理竞赛中则常用微积分的思想进行微元处理。

例5 如图10所示，长为l、质量为m的均质杆OA，以角速度ω绕其一端O匀速度转动时，其动能为多大？

解析 在杆绕0点转动时，由于杆上各点的线速度大小是不同的，所以不能直接用動能公式

进行计算。此时就可以考虑用微元法来分析。

先将杆分成相同的n段（n很大），这时在转动时可以将每一小段上各部分的速度看成是相同的。

现分析其中任意一小段（如图11所示），设从转动轴向外数为第i段，endprint