通过求解加速度问题进行动力学的研究分析

王晓云，陈 堃，李 梦

（安徽信息工程学院 机械工程系，安徽 芜湖 241000）

《理论力学》是研究物体机械运动，一般规律的一门学科[1]，包括静力学运动学和动力学三部分内容，其中动力学是研究物体机械运动与作用力之间的关系，包括了静力学和运动学研究内容，是两者之间的有机结合.在课堂教学中，学生对动力学内容理解不够透彻，掌握不够扎实，达不到预期的教学目的.究其原因，主要有以下三点，一是研究对象不清晰，动力学内容的主要内容的主要研究对象是刚体，是不变质点系，学生通常将物理中对于质点的研究方法套用在刚体上，造成方法使用错误，二是动力学内容多，学时紧.动力学包括动力学普遍定理，虚位移原理、达朗贝尔原理、碰撞和拉格朗日方程的内容，通常只有20多个学时.导致学生对内容掌握不牢固；三是内容难、学生理解不透彻，动力学问题与实践联系紧密，涉及内容多，需要具有一定的逻辑分析能力，如果前期学习基础不够扎实，对这部分内容的理解会造成很大的困难.

针对以上问题，笔者结合自身教学经验，通过对一道题求解加速度的众多方法，悉数动力学主要研究方法，加深学生对动力学内容的理解，力求达到举一反三.

1 具体实例分析

一辆简易平板车如图1.杆的质量是m；两圆柱体质量分别为m/2，半径为r；设接触处都有摩擦，无相对滑动.求当杆上加水平力P时，求杆的加速度.

图1 简易平板车

方法一：应用动能定理求导

研究对象去整体，设杆向右移动距离为x，受力及运动分析如图2.

图2 受力及运动分析

主动力的功∑W(F)=Px写出两个状态的动能，设初状态的动能T0，由上知，任意时刻动能T=mv2代入动能定理T-T0=∑W(F),即mv2-T0=Px，

该方法适用于单自由度，系统所含物体较多，约束力复杂的情况，需要注意，利用该方法求解加速度时，系统的动能和功具有一般特性，以便等式两边可以同时求导.

方法二：直接应用动能定理

研究对象取整体，设杆向右移动距离x，

根据主动力的功，写出两个状态的动能，设初状态的动能T0，速度为v0，由上知，任意时刻动能T=mv2.

则，T0=

该方法与方法一适用范围类似，可以求解速度又可以求解加速度，由于借助运动学关系，补充了两时刻速度与加速度之间的关系，在问题求解时，可以省略求导这一步，使得运算更加便捷.

方法三：功率方程

研究对象取整体，设杆在拉力P作用下具有向右的速度v，主动力的功率∑P(F)=Pv，且由上易知，将任意时刻动能代入功率方程

该方法利用功率方程能够快速有效求解加速度，但如果对速度进行分析，需要进一步对加速度进行积分.

方法四：应用动量定理与动量矩定理

先研究杆，受力及运动分析如图3所示，

图3 杆的受力及运动分析

水平方向应用质心运动定理，可以得到ma=P-2FS再研究圆柱体，受力及运动分析如图4所示.

图4 圆柱体的受力及运动分析

对P点应用顶轴转动微分方程JPα=F'S·2r，其中α=a=2aC

该方法是一种通用的方法，其核心是平面运动微分方程，具有思路清晰，方法简洁的特点.然而在求解过程中需要先对系统中各物体进行受力和运动分析，对于复杂系统而言，由于约束力的性质和分布在求解前是不易确定的，使得求解过程变得极为复杂.

方法五：达朗贝尔原理

先研究杆，受力及运动分析如图5所示:

图5 杆的受力和运动分析

沿水平方向列平衡方程，可以得到P-2FS-FI杆=0

再研究圆柱体，受力及运动分析如图4所示.

以P为矩形，列出矩方程，-F'S·2r+FIr+MIC=0,其中，α=

该方法与方法四类似，也是一种通用的方法，然而较方法四，矩方程更为灵活，矩方程的矩心不受任何限制，是次此方法的主要优势.

方法六：应用拉格朗日方程

取系统为研究对象，此系统具有一定的自由度，选杆的水平位移x为广义坐标，如图6所示.

图6 广义坐标

计算广义力（虚功法）：Qx

∑δW(F)=Pδx，则，Qx=P

计算动能：设任一瞬时，杆的平移速度为v，圆柱体纯滚动，角速度

由此得：

该方法利用系统能量，建立拉格朗日方程，使得问题的分析变得清晰明了，特别是系统的约束力未知，自由度较多时，优势尤为明显.

3 结束语

本文以一道常见例题为对象，利用六种方法进行了分析求解，分别应用了质心运动定理，动量矩定理、功能定理、功率方程、达朗贝尔原理和拉格朗日方程等多种方法，几乎涵盖了全部的动力学内容，力求达到动力学内容的融会贯通，希望能够增强学生对这些定理的理解，能够正确使用这些定理解决实际问题，从而达到动力学的基本目的.

〔1〕哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学I、II(第7版)[M].北京：高等教育出版社，2009.