变焦距曲面复眼的定位模型研究

刁晓蕾，刘凤丽,，李伦，郝永平

(1.沈阳理工大学 机械工程学院 沈阳 110159；2.辽宁省先进制造与装备重点实验室，沈阳 110159)

光学成像系统随着科技的不断进步均在各个领域中有极大的利用价值[1-2]。由于单层变焦距仿生复眼具有多个子眼同时捕捉像点和子眼呈球面阵列分布的结构特征,且具有强大的集中处理神经信息的能力，因此非常适于对高速运动目标的识别、定位及三维重构等任务,因此在测量、监控及导航等领域都具有极大的潜在应用价值[3-4]。但受光学透镜加工工艺等限制，复眼透镜易在目标点与成像点之间产生非线性畸变。这种非线性畸变在测定捕捉目标精度等方面有很大的干扰[5]。

人工复眼成像系统根据自然界中昆虫复眼的多个子眼同时探测目标点信息的原理，不断制作改进使其更加被广泛地应用到三维定位技术中。Stanford University的Levoy小组开发出集阵相机人工复眼成像系统，采用空间大范围稀疏分布进行成像，可实现超分辨率合成和实时三维成像；但该系统体积庞大，数据采集和传输复杂，不符合结构简单、移动便利的发展要求[6]。清华大学陶圣等根据昆虫复眼的空间侧抑制机制，设计出一种硬件实现的复眼感应模型[7]。虽然该系统无法获得运动目标的具体三维坐标，但它采用的触发响应模式可以对运动目标进行快速识别。本文为获取较双目视觉定位更可靠的定位方法，以双目视觉定位模型为根基，对变焦距仿生复眼的多目视觉定位进行初步分析。

1 复眼模型设计与制作

本文所设计的变焦距曲面复眼模型为曲面非均一结构，该结构由5级子眼构成，其中1～4级子眼分别阵列6、12、18、24个子眼，共61个曲率不均一的子眼，即每级子眼的曲率半径不同，到平面探测器的距离也随着其位置的变化而变化，即每级子眼透镜的焦距不同[8]。复眼模型结构示意图如1所示，计算每一级子眼的参数，建立三维模型。为保证所设计的非均一曲面仿生复眼结构可以提高边缘子眼透镜的成像质量，通过ZEMAX仿真进行优化，非均一曲面复眼光线追迹效果图如图2所示。在进行光线追迹时，需要确定光线的入射位置，即小眼透镜在曲面基底上的位置。

图1 复眼结构模型示意图

图2 复眼结构光线追迹效果图

为便于计算，对每个子眼透镜进行编号。首先将曲面基底分为六部分，每一部分之间的夹角为60°。先对第一部分进行编号：以中心子眼透镜为中心，选择任一过中心子眼且过基底球心的面作为子午面，然后将分布在子午线上的五个子眼以中间小眼透镜为基准进行编号，依次为1、2、3、4、5。以编号为5子眼透镜作为基点，对与其在同一弧线上的三个点编号，依次为6、7、8。然后以螺旋形式开始对剩余的六个小眼进行编号，同一弧线上的子眼编号相邻，之所以以这种方式对子眼透镜编号，是因为同一纬线(与子午线相互垂直)上的φ角相同，同一子午线上的θ角相同(相对于径向排布的任意一组9个小眼透镜而言)，为下步计算每个子眼透镜在曲面基底上的位置提供方便。然后采用与第一部分相同的编号方法对剩下的五部分进行编号，最终形成如图3所示的复眼透镜编号图。根据已完成的编号可计算出每个子眼透镜在曲面基底上中心坐标位置。

图3 复眼透镜编号图

对于空间上任一点可用直角坐标表示，又可以用球坐标表示，空间一点的球坐标系如图4所示。

图4 空间一点的球坐标系

从图4中可以看出，在球坐标系中任意一点P，不仅可用直角坐标系(x,y,z)表示，也可由曲率半径R、仰角θ(即OP与z轴夹角)、方位角φ(即OA与x轴夹角)表示，其中点P′为点P在平面xoy上的投影。于是，由直角坐标P(x,y,z)转换为球坐标P(R,θ,φ)有如下关系式

(1)

反之，已知球坐标P(R,θ,φ)，也可由球坐标系求出相对应的直角坐标P(x,y,z)，转换关系式如下

x=Rsinθcosφ,y=Rsinθsinφ,z=Rcosθ

(2)

将仿生复眼中间子眼透镜的坐标点作为坐标系的原点，坐标系的方向与图3中的坐标系的方向一致，根据球坐标系的定义，令中心小眼透镜(编号为1)的球面坐标系为(R,0,0),本文所设计的结构中R为5mm。又由于径向排布的小眼透镜之间的夹角分别为14°、14°、13°、11°，因此径向排布的编号为1～5的小眼透镜的球面坐标依次为(5,0°,0°)、(5,14°,0°)、(5,28°,0°)、(5,41°,0°)、(5,52°,0°)。采用同样的方法可以求出编号为12～15子眼透镜的球面坐标，依次为：(5,14°,60°)、(5,28°,60°)、(5,41°,60°)、(5,52°,60°)。根据子眼透镜5和子眼透镜15，可以求子眼透镜6的球面坐标。

仿生复眼子眼的球面坐标系如图5所示。

图5 仿生复眼子眼球面坐标系

(3)

(4)

因此向量c可表示为

(5)

根据公式(2)可将向量a(5,52°,60°)和向量b(5,52°,0°)的球坐标化为直角坐标的形式

a=(1.97,3.41,3.08),b=(3.94,0,3.08)

α=46.4°

然后将向量a和向量b分别代入式(3)、式(4)、式(5)可得到

i=(0.7878,0,0.6159),

j=(-0.2065,0.9421,0.2641)，

c=(3.6511,0.9474,3.282)，

c坐标就是6子眼透镜在曲面基底的位置。同理，可以求出其余子眼透镜在曲面基底上的坐标位置。确定最终复眼参数后，加工出复眼模具，利用浇注法制备复眼样品,如图6所示，复眼样品为直径8.66mm的球壳上共有61个曲率不均一子眼。

图6 变焦距曲面复眼样品

2 目标定位模型

光线通过直线传播经过小眼发生畸变，对空间目标定位精度产生很大影响，为便于分析,本文把每条物像间的光线轨迹分为两部分,第一部分是目标点到子眼中心之间的线段POi,第二部分是子眼中心到图像传感器成像点之间的线段OiPi,并对这两部分采用向量的表示方法,利于成像系统的标定。曲面微透镜阵列成像系统的成像结构示意图如图7所示[9]。

图7 曲面微透镜阵列成像系统的成像结构示意图

对第一部分线性建立方程的过程如下：首先对空间目标点和所对应的其中一个子眼透镜建立一个数学模型，如图8所示。令O(Xo,Yo,Zo)为子眼透镜中心的三维坐标，P(xi,yi,zi)为空间目标点的坐标，那么OP之间的连线就可以用p(tanα,tanβ,1)表示。

图8 子眼目标定位模型

若已知各个子眼透镜的中心坐标和目标点与子眼透镜之间连线的方向向量，即可得出直线方程，令a=tanα，b=tanβ，c=1，因此OP之间的连线方程[10]可以表示为

(6)

将式(6)转换为矩阵的形式

(7)

由图7可知，只要知道两个子眼透镜的参数，就能确定空间目标物的三维坐标。这个定位过程会因为种种误差影响目标物定位的精度，如果目标物能被多个子眼透镜捕捉到，即可提高复眼透镜对目标物的定位精度。

通过式(7)可知，当目标物被多个子眼透镜同时捕捉到时，可建立联合方程

MX=D

(8)

式中：矩阵M为

向量D=[-D11-D12… -Dn1-Dn2]T。

从式(7)可知，如果有两个子眼透镜捕捉到同一目标点，即可得出四个方程组，进而可得出式(8)为一个超定性方程组。一般情况下，超定性方程组没有精确解，所以对超定性方程组求解时，都取近似值。要想求出超定性方程组的一个较精确解，需借助目前最常用的求解方法—最小二乘法[11]。

3 建立复眼定位测试系统

图9所示为复眼定位测试系统，根据实验条件，要获得目标的三维坐标，需保证：1)水平移动轴线与目标平面垂直；2)目标平面与复眼平面平行；3)复眼主通道透镜光轴与目标平面的交点以及主透镜中心与交点之间的距离已知。通过设定已知目标光源的三维坐标，利用试验中所采集的光斑通道来计算目标光源的三维坐标，从而确定该定位测试系统的可行性[12-13]。

图9 复眼定位测试系统试验台

通过建立的复眼定位测试系统，采集光斑二值化图像如图10所示，采集到33个光斑，通过上述建立的目标定位模型，可计算出目标点的三维坐标。

图10 光斑二值化图像

随机选取编号为6、9、11，采集到目标点，6、9和11子眼透镜的直角坐标分别为(1.21,0,4.85)、(2.03，-1.17，4.41)和(3.10，1.07,3.77)。目标点对于6号子眼透镜的入射角与XOZ面成30.977°，与YOZ面成12.2179°；目标点对于9号子眼透镜的入射角与XOZ面成25.4°，与YOZ面成0.5°；目标点对于11号子眼透镜的入射角与XOZ面成38.2°，与YOZ面成5°。然后将三个子眼透镜的直角坐标代入到式(6)，可得式(9)。

(9)

进一步转化为方程的一般形式

(10)

将式(10)按照式(7)转化为矩阵的形式

(11)

MT=

MT-MTX=0

(MTM)X=MTD

若当MTM的秩等于3时，矩阵满秩。于是未知数有唯一解

X=(MTM)-1MTD

(12)

将矩阵M、MT、向量D代入式(12)可得出

X=[4.08,1.91,6.39]T

为剖析变焦距曲面复眼成像系统中同一目标的定位误差，在标定过程中，以变焦距曲面复眼球壳中心为原点，在空间位置上设定一个目标点，坐标为Po(4.36,2.52,8.5)。由式(6)可知，如果目标点被两个及以上的子眼捕捉到，就可以根据组成的超定性方程组确定其三维坐标，因此提取这20个透镜中的2个、3个、4个、… 、20个子眼分别进行解算空间目标点Po的三维坐标，不同子眼透镜个数计算出点P的三维坐标如图11所示。

图11 不同子眼透镜个数的定位坐标误差

从图11中可以看出，不同子眼透镜数计算出来的三维坐标均有误差。在提取子眼透镜数较少时，尤其是双目视觉时，由于标定不够精确，其误差巨大；但随着提取的子眼数目越多，其结果与目标点Po的实际三维坐标越一致，即空间定位更加精准。

(13)

式中：P为多子眼定位所得三维坐标；Po为目标点三维坐标；δ为定位精度。经过统计计算利用多点定位模式，子眼数目达到20时，三维坐标精度在5%以内。

4 结论

研究制作变焦距曲面仿生复眼，该方案制备工艺简単,不需要复杂的设备,成本低,加工出的模具可以重复利用,成功率较高,并且固化后的PDMS具有较强的化学稳定性和较高的透光率。讨论了变焦距曲面复眼的标定方法，研究了复眼系统的定位特点。针对双目视觉定位偏差较大，提出对目标点建立定位模型，运用多点定位方式，提高空间目标点的坐标精确度，误差可达到5%以内。实验结果显示，复眼系统的多个子眼与双目视觉定位相比精确程度更高，目标定位随复眼系统中参与运算的子眼透镜数目的增多而更精准。

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