基于改进自适应反步和动态控制分配的指令跟踪方法研究

刘璟龙, 文婧, 刘小雄, 何启志

(1.西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710129; 2.中国人民解放军陆军防化学院 指挥系, 北京 102205)

现代飞行控制为研究领域带来了很多有趣并且富有挑战性的控制问题,其主导动态是非线性的,很多气动特性也是不确定的,而被控对象的输入又是具有位置限制和速率限制的。即便如此,对飞行控制系统的性能需求却是很高的,飞机需要在较大的飞行包线内具有较大的稳定裕度,并且要能充分利用所有的气动舵面和推力矢量控制发挥最大机动控制能力。在最近几年,由于在大迎角控制和在通过跨声速区的快速转化中使用传统的增益规划方法[1]会遇到很多问题,所以利用非线性的控制方法在上述极限条件下获得更好的性能已经变得非常重要。

反馈线性化[2]是一种非线性的设计方法,它可以明确处理这些类型的非线性动态。利用非线性反馈,这些对被控变量产生影响的非线性项会被消去,之后生成一个期望的闭环系统动态。这种专门设计的非线性控制方法开创了用单一控制器跟踪不同飞行条件下飞行指令的先例。文献[3-4]都成功地在飞控领域应用了该方法。为了完成反馈线性化方法,系统的非线性必须完全知道,包括一些一阶导数项和二阶导数项。这就存在一个潜在的问题,因为在飞控系统中,气动力和气动力矩并不能被精确的建模。为了让该方法的鲁棒性提高,朱建文等[5]提出用一种线性鲁棒控制器增广反馈线性化控制器的方法。该方法能够依赖不精确的模型信息设计控制律。

Krstic等[6]提出的反步法为反馈线性化提出了一种新的设计方法。用该方法,系统的非线性项在控制器中不会被完全消去,它会保留对系统期望动态有利的非线性项。如何处理这些非线性项是反步法要考虑的核心问题,如果该非线性项是稳定的,那么就认为该非线性项是有用的,该项也会在闭环控制器设计中被保留。该方法对模型误差具有一定的鲁棒性,而且能用比较少的控制能量完成控制任务。Han等[7]将该方法应用于喷气式发动机的推力矢量控制中。

经典的反步法解决了鲁棒性的问题,但是作为反馈线性化方法的一类方法,它并不能处理作动器冗余的问题。为了提高性能和安全性,现代飞机大多具有多操纵面配置,如何利用多个操纵面组合完成常规的飞行任务,这就需要研究过驱动系统的控制问题。上面介绍的控制律的设计方法可以产生一组总的控制效能(或称虚拟控制量),但是并没有规定如何利用现代飞机的多操纵面产生的各种组合来产生该组效能。在经典的线性二次型控制[8]中,控制效能对各个舵面的分配是用某种优化准则以加权矩阵的方式完成。为了完成同样的功能,控制分配的方法被提出。

Durham[9]首次在飞行控制设计中提出利用控制分配方法求解各控制舵面的偏转量以产生控制律给定的气动力矩。如果控制舵面多于3个,且控制舵面与气动力矩呈仿射非线性的关系,这就引出了欠定方程组的求解问题。一般的求解唯一的控制舵面组合的方法是利用二次型代价函数最小化为优化准则以产生理想的力矩。用该思路求出的最优解具有闭合解,称为加权伪逆解。

相比经典的线性二次型控制,利用独立的控制分配模块可以较好地考虑作动器的位置和速率限制。如果一个作动器饱和,则通过该分配器在每一个采样周期求解受限最小二乘问题,可以在不改变控制器结构和控制器参数的情况下,实时地产生剩余操纵面的偏转解。大多数方法是由针对非受限问题的标准伪逆法演变而来的,它们利用迭代的方式解决受限的控制分配问题。但是,广义逆类算法都不能保证找到最优解。为了控制器的所需控制效能输出和分配器的虚拟控制输入相一致,在应用控制分配方法时,作动器的动态必须被忽略。为了补偿忽略作动器动态所带来的影响,让较快的作动器产生总所需效能的高频成分,在控制分配器中引入了滤波器,将总的控制效能划分为高频成分和低频成分。但是由于加入了滤波器,这些成分将逐个被分配,所以作动器的全部能力并不能被全部利用,由于滤波器的带宽限制,很有可能一些作动器始终都不会被分配。这就需要引入新的方法完成此目的。

本文旨在导出一种控制方案,能对重量和飞行条件变化而产生的模型不确定性具有较好的鲁棒性,也能确保在上述不确定下对驾驶员指令信号的准确跟踪。本文提出了一种基于自适应反步和动态控制分配的指令跟踪方案,应用于三角鸭翼布局的单发固定翼飞机。该方案能在不同的飞行条件下和不同的操纵条件下实现稳定和控制,而且对建模误差具有一定的鲁棒性。仿真结果表明,针对非线性的飞机模型,本文设计的控制器和分配器具有较高的准确性和鲁棒性,能够补偿不同飞行条件下产生的模型误差,较为准确地跟踪指令信号。

1 李雅普诺夫控制理论与控制器模型描述

1.1 基于李雅普诺夫理论的控制器设计方法

用李雅普诺夫理论进行控制器设计,考虑系统

(1)

x为系统状态,u为控制输入,x=0为控制目标。我们需要设计一个控制律

u=k(x)

(2)

使得x=0为下列闭环系统全局渐进稳定(GAS)的平衡点

(3)

利用基本的李雅普诺夫理论,需要建立李雅普诺夫函数V(x)。如何建立控制律k(x)和李雅普诺夫函数V(x)就是基于李雅普诺夫理论的控制器设计方法所要考虑的。

一种寻找控制律k(x)的直接方法是选择一个正定的、径向无界函数V(x),使得k(x)满足

(4)

满足下式的,一种正定的、径向无界、光滑标量函数V(x)称为控制李雅普诺夫函数(clf)

(5)

给定该控制李雅普诺夫函数后,我们就可以找出一种全局稳定的控制律。事实上,全局稳定控制律的存在就相当于控制李雅普诺夫函数的存在。该定理称为Artstein定理。

考虑下述仿射非线性系统

(6)

如果控制律选为

(7)

当

a=Vx(x)f(x)

b=Vx(x)g(x)

则该控制律使得李雅普诺夫函数的导数为

(8)

因此该控制律可以让原点x=0全局渐进稳定,该李雅普诺夫函数也是控制李雅普诺夫函数(clf)。该定理称为Sontag定理。

选取最小化的控制效能来满足下式

(9)

1.2 基本的反步控制器方法

基本反步法的核心思想是利用系统的确定状态作为系统的虚拟控制量。考虑下面系统

(10)

式中,x∈Rn、ξ∈R是状态变量,u∈R为控制输入。假设ξ为控制输入,则假设控制律

ξ=ξdes(x)

(11)

可以使得原点x=0为全局渐进稳定的平衡状态。上式称为虚拟控制律。下面定理给出了,如何通过逐步回推,用ξdes和W(x)建立真实控制律u。

考虑(10)式所表示的系统,假设W(x)为控制李雅普诺夫函数,虚拟控制律(11)都为已知,使得

(12)

则增广系统(10)的一个控制李雅普诺夫函数为

(13)

而真实控制律为

(14)

使得

(15)

让原点x=0和ξ=ξdes(0)为全局渐进稳定的平衡状态。

这样,递归的应用反步法,针对下面形式的下三角形式的系统就可以逐个建立全局稳定的控制律

⋮

⋮

(16)

1.3 改进的反步控制器方法

如果系统满足可逆性条件,即bi≠0,且(10)式可以表示成仿射非线性的形式,即

(17)

则(14)式也可以约减为

(18)

实际飞行控制系统的动态并不是都像(16)式严格仿射非线性化的下三角形式所描述的那样,所以要将经典反步法应用到飞控系统中,还必须进行改进。

考虑下面的2个状态都受控制输入影响的二阶系统

(19)

(20)

对于一般情况,η≠α,则定义如下误差参考系统

z1=x1

z2=η-α=x2+φ(u)+ψ(x1)+x1

(21)

则(19)式变为

(22)

(23)

(24)

(25)

该式为一个级联的二阶线性z子系统和一个非线性的u子系统。

(26)

2 控制分配器的建立

2.1 基本的控制分配方法

控制分配的核心就是采用何种方法将控制效能合适地分配到各个舵上,很可能多种方法的系统响应都是相同的。该方法的设计自由度就在于何种组合才算是合适,可以寻找最小化控制能量、对各个舵面划分优先级等来优化一些静态性能指标。

无论是采用何种方法(比如广义逆类方法、基于优化的分配方法、串链接法、直接控制分配等)的分配方法,都是在时域定义,都是一种静态的分配方法,都是将当前时刻的虚拟控制量(或称控制效能)静态映射到实际舵指令上去

u(t)=f(v(t))

(27)

2.2 改进的控制分配方法

引文中提到为了让控制器的所需控制效能输出和分配器的虚拟控制输入相一致,所以忽略了作动器动态。而又为了补偿忽略作动器动态所带来的影响,让较快的作动器产生总所需效能的高频成分,将总的控制效能划分为高频成分和低频成分。这里,为了在频域中将控制效能合适地分配给各个舵,充分利用作动器偏转速率在频谱中的不同部分,采用下面的方法来完成此目的

(28)

该方法在对当前虚拟控制量v(t)映射到实际舵指令u(t)上时,还会参考前一时刻的虚拟控制量v(t-T)和实际舵指令u(t-T),所以实际上该方法每一步的实际舵指令u(t)都是动态生成的,故称为动态控制分配方法。

该方法本质上属于基于优化的分配方法,是常规l2范数优化控制分配方法的延伸,它在目标函数中采用了额外的项来惩罚作动器速率,从而该算法能够根据作动器速率的不同完成分配任务。该序列优化问题可以表示为

(29)

式中,u∈Rm为实际舵指令,us∈Rm为期望的稳态实际舵指令,v∈Rk为虚拟控制输入,B∈Rk×m为控制效能矩阵,W1,W2,Wv是相应维度的加权方阵。其中,‖·‖=‖·‖2表示l2范数。该序列优化问题首先考虑位置和速率限制,且最小化由Wv加权的虚拟控制量误差,实际可行控制量集合Ω被给定。然后在该集合中选出使由W1和W2加权的代价函数最小的控制输入解u(t)。该方法不仅比较位置误差u(t)-us(t),而且比较作动器的速率u(t)-u(t-T)。

则(29)式有以下闭合解

u(t)=Eus(t)+Fu(t-T)+Gv(t)(30)

式中

G=W-1(BW-1)+

“+”代表示矩阵的伪逆操作，A+=AT(AAT)-1。

如果作动器未出现饱和,则该分配算法具有线性滤波器的形式

u(t)=Fu(t-T)+Gv(t)

(31)

该滤波器的的频域特性由加权矩阵F和G共同决定。

下面给出本方案整个闭环系统的框图,如图1所示。

图1 本方案整个闭环系统的框图

图中PD控制器负责消除添加在反步控制器输入端的常值持续扰动,转换器负责将机体轴的变量转换到需要的气流轴上,并输出对应的DCM阵以备反步控制器使用。

3 仿真验证

本文采用某鸭翼布局战斗机的非线性模型进行Matlab/Simulink仿真验证。

按照1.3节所述的方法设计反步法控制器,首先,在气流坐标系下定义的,所需要的期望角加速度信号为

(32)

由于定义控制分配的输入信号类型为三轴的力矩系数,所以需要将上面的角加速度信号先转换为三轴力矩信号

(33)

再将三轴力矩信号转换为三轴力矩系数信号

(34)

按照2.2节所述的方法设计动态控制分配器,将上述力矩系数信号转换为舵指令。

令pw-ref在8～12 s之间阶跃为50°/s,αref在6～10 s之间阶跃为5°,βref始终为0°。仿真时,所有参数都是在0.5Ma,1 000 m的飞行条件下整定的,为了进行对比说明,所有控制结构不变、参数也不变,对0.22Ma,200 m,0.8Ma,5 000 m的飞行条件也进行了仿真。仿真结果如图2所示。

令γref在1～2 s之间沿斜坡增大到30°,仿真结果如图3所示。

图2 不同飞行条件下机动指令跟踪控制的响应曲线图3 不同飞行条件下航迹倾斜角指令跟踪控制的响应曲线

为了试验控制器对飞机质量变化的鲁棒性,在标称飞行条件下(Ma=0.5,h=1 000 m),分别测试飞机质量为0.3*标称质量、1.0*标称质量、1.5*标称质量的情况下,飞机对指令信号的响应情况。

图4 不同空重下机动指令跟踪控制的响应曲线图5 不同空重下航迹倾斜角指 令跟踪控制的响应曲线

上述仿真结果表明,无论是机动指令跟踪控制还是航迹倾斜角跟踪控制,采用本方案设计的控制系统,经过一次参数整定之后,无论飞行条件如何变化,飞机质量如何变化,其所有控制参数都不需要再次整定,控制系统均能够有效并准确地跟踪指令信号,所以该控制器是自适应的非线性控制器,且具有一定的鲁棒性。实验结果达到了设计要求。

4 结 论

现代飞机大多具有多操纵面配置,而战斗机的飞行包线也是非常大的,如何让飞控系统自适应各种飞行条件、各种空重,准确地跟踪驾驶员给出的指令,充分发挥飞机全部的机动性能,这一愿景是飞控系统设计人员的毕生追求。本文主要以多操纵面战斗机为对象,研究了改进反步控制器与改进控制分配器相结合的设计方法,主要考虑在不同飞行条件下、不同空重条件下,飞机能否稳定地跟踪指令信号。应用本方案可以较好的跟踪飞机指令,从而实现飞行控制系统对准确性和鲁棒性的兼顾。

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