闻过则喜 集错归正

金明

一元一次不等式（组）是初中数学的重要内容，是中考数学代数部分考查的重点.但在解一元一次不等式（组）问题时，同学们往往会在解法、几何意义等方面出错.现就几种常见的错误进行分析，希望对同学们的学习有所帮助.

一、遗漏“去分母”的项

例1 解不等式：[2x+13]-[1-x2]≤1.

【错解】2（2x+1）-3（1-x）≤1，x≤[27].

【正解】2（2x+1）-3（1-x）≤6，

∴x≤1.

【点评】解一元一次不等式进行“去分母”运算时，不含分母的项不能忘记乘最简公分母.

二、忽视隐含条件

例2 已知关于x的方程[3x+n2x+1]=2的解是负数，则n的取值范围为 .

【错解】3x+n=2（2x+1），x=n-2.

∵方程的解为负数，

∴n-2<0，n<2.

【正解】∵分母不为0，

∴2x+1≠0，

∴x≠[-12]，

∴n-2≠[-12]，

∴n≠[32].

∴n<2且n≠[32].

【点评】很多同学认为只要抓住x<0就可以解决本题，殊不知本题还有一个隐含条件，那就是分母不为0，所以只有两方面结合方能圆满解决此类问题.

例3 已知[a]（[a-3]）<0，若b=2-a，则b的取值范围是 .

【错解】∵[a]>0，[a]（[a-3]）<0，

∴[a-3]<0，

∴a<[3]，

∴2-a>[a-3]，

∴b>[2-3].

【正解】∵[a]>0，

∴a>0，

∴0

∴[2-3]

【点评】本题要注意当[a]>0，被开方数需要满足a>0，这是一个非常容易遗漏的隐含条件，同学们一定要注意.

三、含参不等式有解、无解及整数解问题

例4 已知关于x的不等式组[5-2x≥-1，x-a>0.]

（1）若不等式组无解，则a的取值范围是 ；

（2）若不等式组有解，则a的取值范围是 ；

（3）若不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 .

【错解】解不等式組得[x≤3，x>a，]

（1）∵不等式组无解，∴a>3.

（2）∵不等式组有解，∴a≤3.

（3）∵不等式组恰有3个整数解，

∴0

【正解】本题三个小题均可使用数轴来解决.

（1）

由数轴可知，a在3的右边，所以a>3，那么a可以为3吗？我们可以对特殊问题进行特殊考虑，当a=3时，不等式组[x≤3，x>a]依然无解，所以a≥3.

（2）

结合数轴，依照（1）的办法，所以a<3.

（3）

结合数轴，a的大致范围是：0

【点评】含参不等式有解、无解及整数解问题的解决策略是利用数轴，利用数形结合的思想，先确定大致的范围，对于端点（特殊）问题，特殊考虑，此类问题就迎刃而解了.

四、方程组与不等式的应用问题

例5 若关于x，y的二元一次方程组[3x+y=1+a，x+3y=3]的解满足x+y<2，则a的取值范围为 .

【错解】……

不少同学无从下手.

【正解】法一（一般方法）：

[3x+y=1+a， （1）x+3y=3， （2）]

（1）×3-（2），

∴8x=3a，∴x=[3a8]，

∴[x=3a8，y=1-18a，]

∴x+y=1+[14a]，

∴1+[14a]<2，∴a<4.

法二（特殊方法）：

[3x+y=1+a， （1）x+3y=3， （2）]

（1）+（2），

∴4x+4y=4+a，

∴x+y=[4+a4]，

∴[4+a4]<2，

∴a<4.

【点评】本题先把参数a作为已知数，用a的代数式表示未知数x，y，再建立关于a的不等式，求出a的取值范围，体现了化归的数学思想.另外，本题还可以利用两式相加，利用整体的数学思想解决问题（特殊方法），注意一般与特殊的关系，有时只能利用一般方法解决，如例6，同学们可以尝试一下.

例6 若关于x，y的二元一次方程组[3x+y=1+a，x+3y=3]的解满足x+2y<2，则a的取值范围为 .

【正解】（一般方法）

[3x+y=1+a， （1）x+3y=3， （2）]

（1）×3-（2），

∴8x=3a，∴x=[3a8]，

∴[x=3a8，y=1-18a，]

∴x+2y=2+[18a]，

∴2+[18a]<2，

∴a<0.

（作者单位：江苏省太仓市明德初级中学）