数式通性 例题延展

“引进一个新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算律.”“数与式”是初中数学学习的重要内容.本文重现课本中的经典例题，结合中考中出现的题型，帮助大家体会几种简单方法为研究相关问题带来的方便，同时，也体现了数式通性.

一、算理的一致性

1.法则一致.

例1 计算：[76]×[16-13]×[314]÷[35].

解：原式=[76]×[16-26]×[314]÷[35]

=[76]×[-16]×[314]×[53]

=[-736]×[514]=[-572].

例2 计算：[x+2x2-2x-x-1x2-4x+4]÷[x-4x].

解：原式=[x+2xx-2-x-1x-22]·[xx-4]

=[x+2x-2-x-1xxx-22]·[xx-4]

=[x2-4-x2+xx-22x-4]=[1x-22].

有理数的运算顺序与代数式的运算顺序具有一致性，先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号里的.

2.运算律一致.

例3 计算：[14+16-12]×12.

解：原式=[14]×12+[16]×12-[12]×12

=3+2-6=-1.

例4 计算：（[23]ab2-2ab）·[12]ab.

解：原式=[23]ab2·[12]ab-2ab·[12]ab

=[13]a2b3-a2b2.

有理数的乘法分配律可直接作为单项式乘多项式的法则，将多项式中的每一项看作有理数运算中的一个具体的数，再与单项式相乘，体现了运算律在代数式运算和有理数运算中都是适用的.

3.公式一致.

例5 计算：（[5]-[2]）2-（[5]-[2]）（[5]

+[2]）.

方法一：原式=[5]2-2·[5]·[2]+[2]2-（[5]2-[2]2）=5-[210]+2-5+2=4-[210].

方法二：原式=（[5]-[2]）[（[5]-[2]）-（[5]+[2]）]=-（[5]-[2]）·[22]=4-[210].

例6 计算：（2a-b）2-（2a-b）（2a+b）.

方法一：原式=（2a）2-2·2a·b+b2-[（2a）2-b2]=4a2-4ab+b2-4a2+b2=2b2-4ab.

方法二：原式=（2a-b）[（2a-b）-（2a+b）]=

-（2a-b）·2b=2b2-4ab.

例5、例6也体现了乘法公式在二次根式运算和整式运算中运用方式的一致性.

例7 计算：（[12]+[20]）+（[3]-[5]）.

解：原式=[23]+[25]+[3]-[5]

=[33]+[5].

思考：[3]与[5]能合并吗？

拓展：假定所有的a>0，

根据公式：am×am=am+m=a2m.

∵[12]+[12]=1，∴[a12]×[a12]=a.

又∵[a]×[a]=a，∴[a]=[a12].

例8 计算：2x2y-3xy2+[14]x2y.

解：原式=（2+[14]）x2y-3xy2=[94]x2y-3xy2.

思考：x2y与xy2能合并吗？

二次根式的加减，就是合并同类二次根式的运算过程，整式的加减，就是合并同类项的过程.例8中字母指数不同，不能合并.根据拓展中的内容发现，例7中[3]与[5]的指数都是[12]，底数3与5不相同，故不是同类二次根式.从运算法则的角度，数与式的运算公式是相同的.

二、思想的一致性

1.整体思想.

例9 求代数式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中x=[12]，y=[13].

解：设（x-2y）=a，原式=5a-3a+8a-4a=6a.

当x=[12]，y=[13]时，a=x-2y=[12]-2×[13]=[-16].

原式=6a=6×（[-16]）=-1.

例10 计算：（1-[12]-[13]-[14]-[15]）（[12]+[13]+[14]+[15]+[16]）-（1-[12]-[13]-[14]-[15]-[16]）（[12]+[13]+[14]+[15]）.

解：设A=[12]+[13]+[14]+[15]，

原式=（1-A）（A+[16]）-（1-A-[16]）·A

=A+[16]-A2-[16]A-A+A2+[16]A=[16].

例9为整体思想的教學，例10为南京市中考题.整体思想能帮助我们更简便地解决一些问题.

2.数形结合、式形结合.

例11 计算：[12]+[14]+[18]+……+[12n].

【解析】解决本题应该先弄明白[12]+[14]+[18]+……+[12n]的几何意义，由于本问题具有一般性，建议从特殊到一般，即先研究[12]+[14]+[18]的几何意义.如图1，可以利用线段或面积进行直观刻画，[12]+[14]+[18]的几何意义为AC=AB-BC=1-[18]=[78]，也可以利用面积为1的正方形面积减去白色区域的面积即1-[18]=[78]，再回到一般[12]+[14]+[18]+……+[12n]=1-[12n].

例12 求代数式[x2+9]+[6-x2+25]的最小值.

【解析】本问题可以联想在数轴上找[5]对应的点.要想解决本问题，先研究几何意义，就是以1和2为直角边的直角三角形的斜边的长度.根据[5]的几何意义去联想[x2+9]的几何意义，再进一步思考[6-x2+25]的几何意义，从而构建代数式[x2+9]+[6-x2+25]整体的几何意义.如图2，先以x和3为直角边构造Rt△ABC，满足∠C=90°，AC=3，CB=x，再延长CB到D，使得CD=6，BD就是6-x，再构造Rt△BDE，满足DE=5，这样原代数式的几何意义就是AB+BE的长度，当A、B、E三点共线时AB+BE最短，即为AE的长度，利用平移化归Rt△AFE，由勾股定理得AE为10.

图2

（作者单位：江苏省南京市共青团路中学）