解三角形策略与技巧的探究

安徽省池州市第一中学(247000)吴成强

解三角形是高考重点考查的内容,对考生能力有较高的要求.考生除了要掌握如正弦定理、余弦定理等解三角形必备的基础知识外,还要掌握解三角形的一些基本技巧和策略以及看问题的视角.解三角形常用的基本技巧主要有:平移、旋转、翻折、分割、界域、巧设、搭桥、视角等.本文通过实例,探究解三角形的一些策略与技巧.

一、平移

平移,就是通过作平行辅助线的方法,构造一个新的三角形,把所要解决的量转化到这个新的三角形中,便于问题的解决.

例1 在Rt△ABC中,D在BC边上DE⊥AD交AC于E点,且求△ADE的面积.

图1

评注本题通过作DE平行线CF,得到等腰直角三角形△CDF,且斜边DC已知,这样问题就很容易求解.本题也可以作其它辅助线,比如作EG⊥CD于G点.

二、旋转

就是通过旋转三角形的方法,把一些量集中到一个易于求解的三角形中,使问题顺利求解.

例2 已知△ABC满足点M在△ABC外,且MB=2MC=2,则MA的取值范围是____.

A,M位于B,C的同侧

A,M位于B,C的异侧

解析易知△ABC为正三角形,将△ACM绕A点旋转60°得△ABM′,C与B重合,△AMM′为正三角形.MM′=AM=x,在△BMM′中,易得2-1≤x≤2+1,即1≤x≤3,当三点M、B、M′共线时等号成立.所以MA的取值范围是[1,3].

评注本题就是通过把△ACM绕A点旋转60°得△ABM′,AM=MM′,而MM′在△BMM′中,根据三角形任意两边之和大于第三边这一性质,问题比较容易解决.这是一道高三模拟考试题,标准答案给的解法很复杂,学生理解起来很困难,不容易想到.即使学生能勉强看懂答案,但下一次碰到类似的问题可能还是不会.用旋转的方法,对学生来说,既简便,又容易理解,同时还能开阔思路,对思维有一定的启发作用.

三、翻折

通过对称翻折,把有关的量化归到某一个三角形中,便于找到相应量的关系,进而找到解决问题的方案,使问题顺利求解.

例3 在边长为2的正三角形ABC的边AB,AC上分别取M,N两点,点A关于线段MN的对称点A′正好落在BC边上,则AM长度最小值为____.

图4

所以AM长度最小值为4

评注本题就是利用对称关系找到AM=A′M,然后转化到△A′BM中建立边角关系,使问题顺利求解.从教学实践情况来看,学生不善于发现这种对称关系所隐含的条件,不少学生对这道题无从下手,感到比较困难.

四、分割

通过分割的技巧,在三角形中构造出已知条件给出的角,体现了以“形”解“数”的策略,也体现了“解题差异论”的解题方法.

例4 在△ABC中,已知BC=5,AC=4,cos(A-B)=求cosC.

解析因为BC＞AC,所以A＞B.如图,作∠BAD=B,则cos∠CAD=设AD=x,则BD=x,CD=解得x=4,所以△ADC为等腰三角形,易得

图5

评注本题就是在∠A中分割出∠B,从而得到已知角A-B,再在△ADC中求解,问题解决就变得很简单,但如果用其他方法则比较复杂.教学实践中发现许多学生想不到用这种分割构造的方法,因而他们对本题的求解感到比较困难.

五、界域

根据正弦、余弦函数的有界性,或根据不等式,或根据图形的极限状况,通过找到界域,发现式子或图形隐含的条件,找到解决问题的突破口.

评注本题就是根据均值不等式和正弦函数的有界性,并注意到等号成立的条件,使问题顺利求解.

例6 在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若求角C.

评注本题也是根据不等式和正弦函数的有界性,注意到等号成立的条件,使问题顺利求解,类似这样的问题比较多.

例7 (2015年新课标I理科)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是___.

解法一(极端化处理)由已知条件,四个角为定值,BC=2,画出平面四边形(如图6),不难分析知A,D分别在BA,CD的延长线上移动且∠BAD=75°,即边AD平行移动,当D与C重合于C时,当D与A重合于E时,所以

图6

图7

图8

评注本题解法一是注意到构成四边形的极端状况,利用极端情形得出范围,解法简单,但技巧性比较强.解法二则是以角为变量,把所求的边转化为所设的角,解法三则是以边为变量,把所求的边转化为所设的边,解法二和解法三的技巧性也都比较强,需要学生有较深的数学功底.

六、巧设

通过巧妙地设出一些量,然后再把其他的量都用这个量表示,这在求范围和最值问题中比较常用.巧妙地“设”,就能巧妙地解.

例8 在等边△ABC中,M为△ABC内一动点,∠BMC=120°,求的最小值.

图9

图10

评注本题就是巧妙地设∠MBC=θ,然后根据条件得出∠ACM=θ,最后转化到两个三角形△MBC、△MAC中求解,这种转化不少学生还是感到有点困难.

例9 在四边形ABCD中,AC⊥CD,AC=CD,求四边形ABCD面积最大值.

评注本题就是设∠ABC=θ,然后用角θ表示AC和CD,使问题顺利求解.

七、搭桥

通过三角形公共边(或公共角)搭桥建立等量关系,得出有关的关系式,从而使问题顺利求解.

例10 在凸四边形ABCD中,AB=3,AD=4,BC=2,CD=1,求四边形ABCD面积的最大值.

图11

解析在△ABC中,BD2=32+42-2×3×4×cosA=25-24cosA,在△CBD中,BD2=22+12-2×2×1×cosC=5-4cosC,所以25-24cosA=5-4cosC,

①2+②2得:37-12cos(A+C)=S2+25,所以S2=12-12cos(A+C)≤12+12=24,所以等号成立条件是cos(A+C)=-1,即A+C=π,此时四边形ABCD为圆内接四边形.所以

评注本题就是通过中间量BD搭桥得到关系式①,从而使问题巧妙求解.

变式(2017年全国高中数学联赛安徽省初赛)设圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=3,BC=4,CD=5,AD=6,则四边形ABCD的面积为___.

评注本题答案是解法完全类似于例10.

八、视角

解决三角形的有关问题,有时需要变换看问题的视角,抓住好的视角,就会使问题解决变得简单,同时还能给人思维的启迪.如果给出边、角之间的代数式关系,通过观察代数式的结构特征,找到式子变形的好的视角,就能快速解决问题,这需要学生有敏锐的观察力;如果是图形,需要观察图形隐含的一些条件,抓住问题的实质,转换看问题的视角,利用最有效的信息,就能使问题解决变得简单而美妙.

例11 在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求△ABC中最大角的度数.

评注本题根据式子的结构特征,尝试着因式分解,这是一个好的视角,给人耳目一新的感觉,问题解决也变得非常简单.当然,本题也可以先分析哪一条边最大,然后根据余弦定理求出最大边所对的角,不过这种方法的运算量比较大.

例12 在平面四边形PACB中,已知PA=5,PB=8,AB=7,PA⊥AC,PB⊥BC,求PC的长.

解析根据余弦定理易得∠APB=60°,因为PA⊥AC,PB⊥BC,所以P、A、C、B四点共圆,其外接圆直径为PC,也是∠PAB的外接圆直径,根据正弦定理易得

图12

评注解决本题的关键就是抓住PC是△PAB的外接圆直径,然后根据正弦定理求解,这是解决本题最简便的方法.但在教学实践中,许多学生看不出PC是△PAB的外接圆直径,也没有联想到利用正弦定理求解,而是用其他方法,比较麻烦,也有不少学生不能顺利求解.

我们在平时的解题教学中,要引导学生学会分析、学会思考、学会总结.课堂教学中,教师要留有一定的时间和空间,让学生思考、探究、发现、讨论,激发他们的学习潜能.