LDPC码编译码的研究
2018-02-28孙昊刘杰
孙昊 刘杰
摘要 本文主要对LDPC码的原理及过程进行了阐述，并对LDPC码的译码算法进行了研究。
【关键词】LDPC码 译码 算法
1 LDPC码的概述
1984年，信道编码理论率先由Shannon提出，也就是所有的信道都有一个固定的信道容量C，对所有比C小的码率R，都有一种编码方式，若果运用最大似然译码，那么会伴着码长的增加它的译码错误概率p能够无限小。在AWGN信道下，信道容量表可做如下表示
Shannon所给的仅仅是一个存在性定理，没有办法达到可以达到香农极限的特定模式。目前，在纠错码方面，相应条件下，LDPC码属于现阶段对香农限最为接近的好码，现阶段成为了该领域的宠儿，它的优点十分明显，即抗干扰性以及抗衰减性极强，，特别在高码率下的更为明显。
跟其他的线性分组码不一样的地方在于，LDPC码并非通过它产生的矩阵来表示，而是通过它校验矩阵来表示的。LDPC码的低密度性具体为：矩阵中绝大大多数元素均为O，只有很少数的元素为1。面对较为常规的LDPC码，它的校验矩阵H里既满足每一列里1的总数都一样多，还满足每一行1的总数也一样。所以能够通过（n，j，k）来表示规则的LDPC码，这里n代表分组的长度，j代表校验矩阵H里任意一列中1的个数，k代表校验矩阵H里任意一行1的总数。
按照线性分组码的性质要求，校验矩阵H推导出生成矩阵G，进而得到对应的码字。因此，LDPC码的生成矩阵G无法通过一种简单明了的形式来表达。H在物理上的意义为：每一行代表了一个校验方程，每一列代表了一个变量点都被哪些校验方程的制约。
2 Tanner图表示的LDPC码
不管是什么样的线性分组码，均可以通过一种简单的方式来表示：Tanner图。LDPC码的Tanner图由两类节点构成：变量节点以及校验节点。变量节点所表示的变量属于校验节点的自变量，而且相同类型节点之间间无边的直接连接。如下所示，A是（10，6，3）规则LDPC码的校验矩阵，其中行重为6，列重为3。有当A里元素为1的时后，因子图方从变量节点cj到校验节点Zj形成一条有向边。
在图1虚线所示，从c1，zl，c2，z5，cl构成一个闭合回路。我们在Tanner图里这样定义，一个节点的最小环长值为该节点所有闭合回路里最小环路长度，每个节点的最小环路长度的最小值被定义为Tanner图形的围长。这幅图里的girth等于4。Girth的大小会影响LDPC码的译码性能，它使得在迭代译码算法下，表现出完全不同的译码性能。实验结果表明，girth的长度越小，LDPC译码性能越差。当对LDPC进行设计时，首先确保girth不能小于4，然后尽可能的令各节点的最小环长大一点，这样LDPC应用迭代译码算法依然可以取得较好的误码率性能。
3 LDPC的编码原理及过程
Mackay设计了一种LDPC码的构造途径，选择一个大于或等于3的整数ωc，产生一个r*n矩阵A，令它所拥有固定的列重量ωc与尽可能相同的行重量。对该矩阵进行高斯消元，得到系统形式的H=[PII]此时A的各行如果线性相关，就对A的行与列进行相应的变换，令它的结构变成A=[C1lC2]得形式，这里C1属于一个r*（n-T）稀疏矩阵，C2属于一个r*r稀疏矩阵。因此P=C2-1C1。一个码长等于n，码率为（n-r）/n的LDPC码的生成矩阵则能够定义成
对矩阵进行行列转换，令所有行里l的总个数尽可能相同。
对1的位置再次进行调整，令任意两列里的相同地方不同时出现1。
通过Mackay算法产生的校验矩阵任意两列之间在同样地方出现1的次数小于或等于1，保证不出现长度等于4的环，同时调整校验矩阵令它的周长最大化，以便于令它的性能变得更优异。
4 LDPC码的译码算法的实现
本文采用的是和积译码算法，具体过程如下：
和积译码算法通过概率决定信息位的取值（O或1），输入信道或接收到的比特可能在LDPC譯码操作之前就被预测，因此也可以将此成为接收到的比特的先验概率。校验节点和信息节点之间的外在信息被定义为Ej，i表示当比特ci=1时满足第j个奇偶校验方程的概率，但若信息比特i未参与第j个奇偶校验方程则不能用Ej，i表示校验节点j和信息节点i之间的外在信息，因为他们之间此时没有外在信息。
当比特ci=l时，所参与的奇偶校验方程中比特为1的个数为偶数个的概率为：
5 仿真结果及分析
利用上述编码原理以及和积译码算法，我们设计的H校验矩阵的大小是（2048，3，6），在AWGN信道下，采用的码率为0.5，使用Matlab进行模拟分析，得到的图像如图2所示。
从图2中可以看出，随着信噪比的增加，误码率是随之减小的。
