由一堂公开课“平面向量数量积”想到的

康建鸿

（甘肃省武威市古浪县第三中学）

【教学过程】

一、新课导入

同学们，我们用热烈的掌声对前来指导咱们教学的各位老师表示欢迎。

前面几节课，咱们学习了向量可以进行加、减运算，我们自然会想，向量可像实数一样能否进行乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？这就是本节课我们要研究的课题——平面向量的数量积。

（教师板出课题：平面向量的数量积）

新课探究：

师问：同学们，物理中我们已学习了功的定义，那么一个物体在力F的作用下产生位移S，力F所做的功如何计算？（打出课件展示小车示例）

生答

师问：功W是一个数量，而F、S是向量。同学们，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？

生答：可以。

师生共同引出向量数量积的定

1.首先，我们学习向量的夹角

已知两个非零向

师问：同学们思考两个向量夹角的范围？

生答：0≤θ≤180°

师问：当 θ=0°，θ=180°时，两向量是何情形？

生一答：当 θ=0°，θ=180°时，两向量共线，且 θ=0°时，两向量同向，θ=180°时，两向量反向。

师问：当 θ=90°呢？

生二答：θ=90°时，两向量垂直

（教师点评两位同学的回答，给予鼓励表扬）

2.投影概念的理解

（1）教师打开课件画出的两个向量，引导学生从物理力的分解的角度，分析在方向上的投影，小组讨论自己对投影的理解，老师纠正，给出投影概念的正确定义。

（2）平面向量数量积的定义。

已知两个非零向

且规定：零向量与任一向量的数量积为0

师问：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？

生一答：当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值，当 θ=90°时，它是 0。

师问：同学们思考生一的回答正确吗？

生二答：不完整，当 θ=0°时，也为正值，当 θ=180°时，为负值。

师：好！可见，θ为锐角，并非两向量数量积为正值的充要条件。

（通过两个同学的提问，让学生加深思考，这样做比教师直接给出答案印象深刻。）

师问：对平面向量数量积定义的理解应注意哪些？

（小组讨论，学生代表发言）

教师展出多媒体总结出的理解，让学生齐声朗读，联想自己在总结中的遗漏。

①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关

②

③

④注：两向量夹角范围［0°，180°］

3.探究

师问：由向量数量积的定义，能否得出下面的结论？（打出课件）

设

①

②当

当

③

（学生小组讨论，由小组代表。说出探究结果，并提醒学生充分理解，达到灵活应用其性质）

4.完成典例，加强概念理解

已知

解

课时小结：

同学们，本节课你学到了什么？你有哪些收获？通过本节学习你有哪些启发？

板书设计：

一、平面向量数量积的定义

二、两向量的夹角定义

三、投影概念

四、例题

【教学反思】

紧张的一节公开课结束了，数学组内同仁的批评、指正，评课中各位对笔者的这堂公开课给予了高度的评价。一致认为导学法在高中教学教学中尤为重要，并提倡各位老师尝试。本人也认为导学法教学，老师提出问题，让学生深思，长期培养了学生独立思考问题的能力，并且，老师再以适当的机会鼓励、表扬学生，大大提高了学生学习数学的积极性。当然，这就要求老师对提出的问题要明确，恰到好处。