双曲线解题十二招式理论与实践
2018-02-26
《普通高中数学课程标准》的具体目标提出:“提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。”教学是一种创造性活动,要求教师不能墨守成规,要勇于创新、积累、总结、提高。数学解题招式理论,即对特定的数学问题形成特定的解题模式;解题招式实践,即应用解题招式理论解决实际问题。在双曲线教学中,笔者在实践中总结出了双曲线解题十二招式,现简介如下:
招式一:“建设现代化”。求轨迹方程步骤:建——建立直角坐标系;设——设点坐标;现(限)——限制条件;代——代入计算;化——化简。
招式二:“双曲线c最大”。c是a、b、c中最大的,c2=a2+b2,字母c形状如双曲线右支。
招式三:“谁正听谁的”。给定双曲线标准方程,判断是x型还是y型,看系数正的,再看分子是x还是y。
招式四:“实轴你真实啊”。双曲线中,不论是x型还是y型,双曲线图像和实轴相交。
招式五:“通径:上下通气不咳嗽”。通径音似通气,电影 《红高粱》主题歌歌词“上下通气不咳嗽”,即x型双曲线通径垂直于x轴。
招式六:“a、b、c总动员”。飞机也来了:“a、b、c总动员”,类同“玩具总动员”,数字2形状似同飞机,即x型双曲线通径上端点P坐标
招式七:“点P在双曲线上,满足定义”。点P在双曲线上,满足定义|PF1|-|PF2|=2a.
招式八:“点P在双曲线上,坐标满足方程”。点P(x0,y0)在双曲线上,满足方程
招式九:“点P在双曲线上,地毯式轰炸”。焦点三角形面积公式其中字母b为炸弹英文首字母,数字2形状似同飞机。
招式十一:“商标d=b”。在双曲线中,焦点到渐近线的距离等于半虚轴的长,即d=b,如同商标图案。
应用以上双曲线解题十二个招式,可以破解双曲线常见题型,提高学生分析和解决数学问题的能力。
例1.推导双曲线标准方程。
分析:要求双曲线标准方程,用招式一“建设现代化”。建——建立直角坐标系;设——设点P(x,y);现(限)——限制条件c>a;代——代入化——化简,得
分析:要判断是x型还是y型,用招式三“谁正听谁的”即得,一看系数正的,是4,二看分子是y,得知是y型。
例3.F1、F2为双曲线左、右焦点,点P在双曲线上,∠F1PF2=90°,求焦点三角形△PF1F2面积S.
分析:F1、F2为双曲线左右焦点,点P在双曲线上∠F1PF2=90°,要求焦点三角形△PF1F2面积S,用招式九“点在双曲线上,地毯式轰炸”,代入焦点三角形面积公式,即得5.
例4.已知科考队员在相距6百米的海面上观测某种海鱼活动轨迹,队员甲比队员乙迟4秒接收到海鱼发出的声音,假设海鱼声音在海平面传播速度为每秒1百米,求海鱼活动轨迹方程。
分析:要求海鱼活动轨迹方程,用招式一“建设现(限)代化”,以甲乙队员所在直线为x轴,甲乙连线的中垂线为y轴建立直角坐标系,设海鱼为点P,依题意点P的轨迹为双曲线的右支,2a=4,得a=2,而c=3,用招式二“双曲线c最大”,c2=a2+b2,得b2=5,所求轨迹方程为
分析:要求焦点到渐近线的距离,用招式十一“商标”,在双曲线中,焦点到渐近线的距离等于半虚轴的长,即d=b=1。
(1)因为所求双曲线过点 (3,1),用招式七“点在双曲线上,满足定义”,得λ=2,所以,即得
(2)因为所求双曲线焦距为10,得c=5。当λ>0时,双曲线为x型,4λ=25, 得所求双曲线方程为当λ<0时,双曲线为y型,所求双曲线方程为
总之,在双曲线解题教学中,教师指导学生巧用所学招式、开展解题训练,能有效破解双曲线常见题型,增强训练学习的针对性,在灵活形象的招式变化练习中逐步提高学生的数学解题能力,增添双曲线课堂教学的趣味性,促进数学学习能力和素质的发展。
参考文献:
[1]教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2003:1.
[2]庄荣婉.中学课程改革巡礼[M].福州:福建教育出版社,2004:79-80.
[3]薛超群.高中立体几何二十四招式理论与实践(上)[J].考试周刊,2015,(59):52.
[4]嵇广阳.双曲线重要考点分析及解题策略[J].中学数学,2012,(8).
[5]向清耀、张世林.剖析直线与双曲线位置关系的解题误区[J].数学通讯,2010,(3).