基于2017数学建模的滤波反投影算法应用

李春梅

摘要 2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题是关于CT系统参数标定及成像模型。CT技术的核心是图像重建，在图像重建的过程中，建立基于radon变换的图像矩阵重建模型。图像重建的核心是重建算法，在迭代法和解析法中，解析法具有更严谨的数学知识基础，处理速度快。解析重建算法中，滤波反投影算法运算效率更高，图像重建的质量比较好，成本低。

【关键词】CT 重构 randon 变换 滤波反投影

1 CT图像重建原理的知识背景

CT系统基本过程是：平行入射的X射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射.接收CT系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。

Radon变换及其逆变换：

物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT图像，图像重建的基础是Radon变换及其逆变换。假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon变换;如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon反演。用公式可分别描述为：Rf（θ，f）=

（ t cosθ +s sinθ，tsinθ-s sinθ）ds，由于matlab中封装有radon函数，使用时直接调用函数：R=radon（I，theta）。

2 滤波反投影算法

3 滤波反投影算法的应用

为了标定radon反演重建结果在正方形托盘中的位置，我们需要确定x-射线开始照射时刻的角度，如图1所示。

3.1 反演图像矩阵在正方形托盘中的位置

为了转换后矩阵与托盘位置对应，建立相对距离比例模型，寻找对应在正方形托盘位置各数值在装换后矩阵Mimg中的位置。正方形托盘的边长分别为100mm，垂直托盘照射时需要的探测器单元个数为：

将附件3数据进行iradon反演，通过矩阵非0点开始和结束位置的判断并得出的256*256大小的介质吸收率的数据。矩形框的四个顶点相对应物理坐标系坐标分别为（-38.6726， -21.0956）、 （42.9628， -21.0956）、（42.9628，22.6516）、 （-38.6726，22.6516），这也是介质位于正方形托盘的较为精准位置。由于图2是以中心作为原点画图，现为了保持坐标的一致，将附件4中的坐标值（x，y）变为（x-50，y-50）标示在10点标定示意图中。由图中看出，未知图形外界形状是一个椭圆状，在靠近底部位置有两个小椭圆部分的缺失，并且在接近椭圆顶端位置有一个稍大椭圆连接了一个小椭圆。10点所对应的收率Pr：【0，0.1538，0.9862，0，0.9839，0.9963，1.0206，0.9823，0，0】将图表结合分析，吸收率为0的点有5个均不在介质中，其中有4个点比较集中，吸收率大小也接近，在三个类似椭圆叠合在一起时，吸收率最大为1.4703，有一个点在边缘处正处于两吸收率为0的点之间，整体来说，图中点的分布于表中吸收率的值是一致的，间接证明结果的准确性。

参考文献

[1] radon变换https： //baike. baidu. com/i tem/radon%E5%8F%9 8%E6 01，8D%A2，2017.9.14

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