两个一次函数绝对值的和与差求最值的方法探究

许文新

（福建省南平第一中学）

许文新

（福建省南平第一中学）

两个一次函数绝对值的和与差求最值时，当两个绝对值中的一次项系数不相同也不互为相反数时，我们通常可以用绝对值不等式来求最值，方便快捷，而不必用零点分区法将绝对值打开写成分段函数的形式。但是，当两个绝对值中的一次项系数不相同也不互为相反数时，绝对值不等式无法使用，我们通常是用零点分区法将绝对值打开写成分段函数的形式，利用函数图象求最值，但总是觉得很繁琐。其实，此时仍然可以用绝对值不等式来求最值，只需稍作变化，举例如下：

当 x=3，且（x+1）（x-3）≤0 时，

即当x=3时，fmin（x）=f（3）=4

当 x=a，且（x+2）（x-a）≤0 时，

即当x=a时，fmin（x）=

【分析】若用零点分区法将绝对值打开，必须对a和-1进行比较大小、分类讨论，非常繁琐。而这里只用了两次缩小变形，就得到了函数的最小值，简洁明了。

当 x=-2，且（x-1）（x+2）≥0 时，

即当x=-2时，fmax（x）=f（-2）=3

即，-f（x）≤3，∴f（x）≥-3

当 x=2 时，且（x+1）（x-2）≥0 时，

即当x=2时，fmin（x）=f（2）=-3

【分析】因为是两个绝对值相减，必须进行放大变形才能用绝对值不等式，而将系数2变为系数1是缩小变形，故从它的相反数出发来做，先把的系数-2放大到系数-1，再用绝对值不等式进行放大，得到函数相反数的最大值，从而得到函数的最小值。

当 x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 时，

即当x=-2时，fmax（x）=f（-2）=8

即，-f（x）≤12，∴f（x）≥-12

当 x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 时，

即当x=-2时，fmin（x）=f（-2）=-12

【分析】因为是两个绝对值相减，必须进行放大变形才能用绝对值不等式，而将系数5变为3是缩小变形，故从它的相反数出发来做，先把系数-5放大到-3，这样可提最公因式3，再用绝对值不等式进行放大，得到函数相反数的最大值，从而得到函数的最小值。

当x=m，且（x-3）（x-m）≥0时，

即当x=m时，fmax（x）=f（m）=2

【分析】若用零点分区法将绝对值打开，必须对3和m进行比较大小、分类讨论，非常繁琐。而这里只用了两次放大变形，就得到了函数的最大值，简洁明了。