浅谈导数的应用

（建阳第一中学 福建南平 354200）

一、导数的定义和性质

1.导数的概念

导数是微积分中的重要基础概念。以下是几条重要的概念和定理。

概念1：当时，是一个确定的数。当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数（简称导数）。的导数也记作

即

概念2：当函数的自变量x在一点上产生一个增量时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx→0时的极限a如果存在，a即为在处的导数

记作

2.导数的几何意义

函数在点的导数的几何意义为函数曲线在点的切线斜率。导数的几何意义是在可导的前提下，该函数曲线在这一点上的切线斜率。

定理1：若曲线在x0点处不连续或不存在斜率，则改点处不存在导数，即在x0处不可导。

定理2：当时，在该点处切线的倾斜角为锐角；当时，在该点处切线的倾斜角为钝角；当时，在该点处切线与x轴垂直。

二、导数在解析几何的简单应用

1.利用导数性质研究函数性质

在研究函数性质时，特别是研究高次函数、超越函数的连续性、单调性、奇偶性、极值最值等重要性质时，通过从函数的导数出发，把研究较难的函数问题巧妙地转化到研究较简单的导数的问题上，使人们对一些较复杂的函数性质得到更充分的认识，拓宽了人们对函数性质认识和发展的途径，为我们解决函数难题带来重要的方法基础。

利用导数的几何意义，将为导数在研究几何问题中的应用，特别是在解析几何的问题中提供有力的思想方法。在求函数的单调性时，如果仅从函数的单调性的定义出发来解决是十分困难的，这时通过导数的连接工具，将问题迅速解决。

利用导数的方法还可画一些超越函数的图像。在画的图像时，如果仅从函数一些基本性质上的定义出发，解决此题是麻烦和困难的，如果能引进导数，将函数的图像问题升华为研究导数性质和特点的问题，将求函数单调性、极值点、凹凸性、连续性的问题化为研究导数的正负性、零点、单调性、存在连续性的问题，做到用导数工具描绘函数图像，函数思想化归导数思想。

2.利用导数解决切线、切点问题

切点切线的问题在几何性质认识中是基础而重要的问题，以导数为研究工具正是解决切线切点问题的有力方法。面对解决函数中有关切线、切点等问题时，通过结合导数的几何意义，巧妙地将一些繁杂的解析几何问题以导数的几何意义来说明并巧妙地解决，这样对于一些本来需要更加复杂的几何证明思路或思想化为简单的从导数的几何思维出发，降低了难度的门槛。为人们在某些特定而有限的条件下探索一些几何性质的过程提供了一种方便、快捷的方法。

下面用两个例题展开论述。

例1：求函数过点（2，1）的切线方程及切点

例2：若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，求b

分析：以上两题通过设点的坐标，并从导数的几何意义出发，求出切线的斜率，并列出方程，从而求出点的横坐标及切线斜率，是一种快捷、有效的方法。体现了从导数几何意义出发，求解有关函数简单的切线切点问题。

对于切线问题也可通过设切线方程，结合判别式等于零解决也是一种方法。但相比于导数而言，有时计算量更加的繁杂 ，且局限性更大，而导数使问题更加具体化、简便化、易懂化。

在解析几何中切线、切点的问题是几何中基本的和重要的组成部分，往往许多问题要通过切线切点问题加以展开，通过导数的思想加以解决。鲜明体现了导数在解决几何基本问题时的重要优势，为解析几何的应用和发展提供了重要的方法基础。

3.利用导数解决几何中的最值问题

在数学中几何的最值问题是一个重点，特别是在解析几何中求一些曲线、直线距离围成面积的最值时，不仅要有力地结合到函数，更要以导数作为根本方法快速巧妙地解决解析几何中简单和复杂的问题。下面仅以解析几何中简单的导数应用作为鲜明例子展开论述。

例3：已知直线与抛物线交于A、B两点，o为坐标原点，试在抛物线弧AOB上求一点P，使ΔAOB的面积最大。

分析：

本题如果仅从定义出发使用三角形面积公式：底×高， A B为定长，关键在于求P 到A B距离的最大值，可求出最大面积。但根据点到直线距离公式计算的繁琐和难度来看，用这样的方法较麻烦，在计算时容易出错，走了许多弯路。

如果能在抛物线上取一点P，使P为与直线A B平行的切线与抛物线的切点，再结合导数的几何意义，轻松的算出切线的斜率，巧妙运用导数的思想解决几何中距离、面积的问题。将导数应用于几何中时期更加鲜明化、特色化、应用化、具体化，更加彰显导数作为数学基础工具的巨大作用。

例4：设直线x=t与曲线的图像分别交于M、N，则当达到最小时，t为多少。

分析：

本题如果单单画出两个曲线的大致图像，仅靠观察和意识的浅层理解是不准确的，也是错误的方法。像这样以函数为背景解决曲线直线等几何图形的最值问题时，如果仅从定义出发是难以判断和解决问题的。面对这种问题时要大胆地运用数学的重要工具--导数，用导数的思想和函数的背景。将上方的曲线解析式减去下方曲线解析式，构造一个新的函数，再通过导数的思想求出该函数的最值。寻根溯源，最终方法就是要依靠导数作为根本方法，展开以函数的背景解决实际中几何的最值问题。

三、导数在参数问题中的应用

1.利用导数解决函数零点问题

例5：已知函数有两个零点，求a的取值范围。

分析：

本题看上去虽是简单，但是其中所包含的思想是丰富的。如果仅从零点的定义角度去解决理解这一题，思路是僵化的且没有方向性的。面对本题是一个超越函数且含有参数，所以直接从定义出发，则难上加难。

如果从函数的性质出发将函数进行求导利用导数的正负性求函数的单调性，利用导数的零点，求函数的极值，将函数的性质研究转移到研究导函数的性质上来：求导后得到：从而对a的值进行必要的分类讨论，求出函数的单调性，再结合函数根的分布思想和零点存在定理进行综合分析、数形结合得出问题的答案。

导数有时候是数形结合上巧妙的联系点，在一些解决困难的有关函数交点、零点等数形问题时，通过构造函数，把函数的导数求出，巧妙地应用导数的最值等观点解决疑难的数形结合问题

2.利用导数解决不等式的问题

例6：证明：当x＞0时，

分析：

此题如果直接比较是非常难得出结论的，即使是特殊值代入也不能完全的说明问题本质。所以要解决问题需要通过连续构造多个函数，将函数的单调性进行深入研究。因此需要巧妙地用到导数的思想把问题的源头转移到研究导数的性质上来。

追根溯源，面对大多数为超越函数的不等式问题时，不仅要从表面思考，更要从本质出发，通过构造函数把问题转移到研究导函数的层面上来。实现多角度、多层次、抓重点、追根源的思想素养，体现了导数在数学中重要的方法地位和应用价值。

3.利用导数解决存在、恒成立的参数问题

例7：已知函数对不等式恒成立，求a的取值范围。

分析：

对于此类在绝对值下求参数取值范围的恒成立问题，需要结合转化划归的思想把题目化为求函数最值的问题，将导数的思想渗透于其中，如本题：可等价为对求导：用导函数的性质来研究和求出原函数的单调性和最值。

导数是维系着一些不等式、恒等式、存在性的证明和定义问题，将复杂的问题化为简单的问题，将无形化为有形。如本题是一个超越函数，要直接解决他，是非常困难的。如果通过导数这一转化化归，可将恒成立的问题轻松巧妙地转化为求导数最值的问题，通过导数这一联系点解决疑难。

四、导数在实际生活问题中的应用

1.导数在经济生活中的简单应用

随着经济的发展越来越多难而复杂的经济问题逐渐显露出来，许多问题，特别是在数学的背景一下，需要亟待解决。其中导函数的应用就是其中一个很重要的基础。把握好导数与经济生活相结合，发挥出导数重要的根本方法优势和巨大的基本工具作用。

例8：某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数K，若存款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，为使银行获得最大收益，则存款利率为多少。

分析：本题要从实际经济的角度问题出发，表示出收益的函数关系，通过对函数的求导，求出元函数的最值，把一到经济问题具体到导函数的问题上来，实现导数与实际生活中的应用转化。这里仅讨论导数在经济中简单的应用而导函数在经济领域中的应用不只这一类例子，还有更多重要的应用与思想。

2.导数在生活中材料优化问题的应用

在解决实际问题当中的最值问题时，如求面积、体积、长度等实际生活中事物的变化规律时，通过结合函数导数的变化思维，把生活中困难的问题升华为研究函数、导数的变化规律，使实际问题和数学的导数思想紧密而巧妙地结合，做到由抽象到具体的重要数学思想。从而简化和拓展了人们认识一些事物的运动规律的途径。

例9：某市拟在半径为R的圆形花园中心竖建一高杆顶灯，若地面各点的亮度和光线与地面所成角的正弦值成正比，与该点到灯距离的平方成反比。问高杆顶灯的灯柱设计为多高时，花园周边小路的亮度最大。

分析：本题是一个与实际生活联系紧密的问题，解决该类问题往往通过设计和构造与提干相关的函数，进行解决。本题难点在于所设的变量之多和构造的函数比较复杂。如果仅从函数的层面来解决最值问题较困难。要意识到导数的重要性，让函数问题维系与导数问题之中，使实际问题简单化、具体化、方法化、严谨化。因此应用导数是在解决实际优化问题中关键的一步。

结语

在生活实践中，处处离不开导数，作为基本而有力的工具，导数在数学、物理、化学、经济等各方面领域提供了较为重要而基本的方法之一。导数在解决一些数学问题中常常起到举足轻重的作用，例如：在解决函数恒成立、存在、极值、单调性等问题时巧妙应用导数的方法。实践证明，导数知识的不断应用和创新是符合客观规律的，是引导人们正确认识世界的一种重要工具和基础方法，为人们不断开拓各领域研究做出重要的贡献。只有正确把握好导数的应用，发挥出其巨大的优势，不断认识、理解、创新，才能让导数的思想焕发出更大更强的生命活力。

[1]普通高中课程标准实验教科书（数学2-2） 2005：5-9.