四色猜想能够成立的证明

张尔光

【摘 要】本文依照“同一组的区域着同一色”的对等原理，将对四色猜想的四色区分的证明，置换为对“在相邻区域不能搭配为同一组的原则下，能否做到将图的区域合理搭配分为四组”的证明。笔者论证了“四色猜想的四色区分”的五种结果及其等式，创立了“设划单元，合理搭配”的方法，通过实图例证，对“相邻区域不能搭配为同一组的原则下，能否做到将图的区域合理搭配分为四组”之问题做出了证明，并得到了肯定的回答，从而证明四色猜想成立。

【关键词】四色区分；图；区域；单元；合理搭配；证明；成立

中图分类号： O157.5 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）33-0155-005

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.33.071

笔者认为，依照“同一组的区域着同一色”的对等原理去推想，四色猜想的四色区分的证明，就是“在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，能否做到将图的区域合理搭配分为四组”的证明。这是因为，如对“能够做到将图的区域合理搭配分为四组”之问题做出了证明，就等于对“能够做到四色区分”之问题做出了证明。

笔者研究结果表明，展现在平（球）体表面的图，不论其区域是多少、整体结构多么复杂，均可通过“设划单元，合理搭配”的方法，在相邻区域不能搭配为同一组的原则下，做到将图的区域合理搭配分为“四组”，因而，按“同一组的区域着同一色”的对等原理，在遵循相邻区域不能着同一色的原则下，对图的区域完全能够做到四色区分，使四色猜想成立。

1 四色区分的着色结果及其等式

在论证“展现在平（球）体表面的图的n（n≥4）个区域，在相邻区域不能搭配为同一组的原则下，能否做到将图的区域合理搭配分为四组”之问题之前，笔者觉得有必要把目光和思维转到“n个苹果分装到四个箩筐的结果及其等式”這个证题上来。

1.1 论证n个苹果随意分为四筐的结果及其等式

我们知道，n（n≥2）个苹果随意分装到若干箩筐，在每筐至少有一个苹果的前提下，其分装到各个箩筐的苹果数的结果（不论是何种结果），均可以数学等式表达出来。

例证1 n（n≥2）个苹果随意分装到两个箩筐，那么，其分装到两个箩筐的苹果数的结果只有两种可能：

结果1 两个筐的苹果数相同，其等式可表达为：

m×2=n（m为每筐的苹果数，n为苹果总数，下同）

结果2 两个筐的苹果数各不相同，其等式可表达为：

（m1×1）+（m2×1）=n

“m×2=n”和“（m1×1）+（m2×1）=n”此两个等式告诉我们，在每筐至少有一个苹果的前提下，不论是多少（n≥2）个苹果，如分装到两个箩筐，则完全可以做到，而且其分装的结果，必定可以此两个等式中之一个等式表达出来。

例证2 n（n≥3）个苹果随意分装到3个箩筐，那么，其分装到3个箩筐的苹果数的结果只有三种可能：

结果1 3个筐的苹果数均相同，其等式可表达为：

m×3=n

结果2 其中2个筐的苹果数相同，另一个筐的苹果数不相同，其等式可表达为：

（m1×2）+（m2×1）=n

结果3 3个筐的苹果数各不相同，其等式可表达为：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n

“m×2=n”、“（m1×2）+（m2×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n”此3个等式告诉我们，在每筐至少有一个苹果的前提下，不论是多少（n≥3）个苹果，如分装到3个箩筐，则完全可以做到，而且其分装的结果，必定可以此3个等式中之一个等式表达出来。

例证3 n（n≥4）个苹果随意分装到4个箩筐，那么，其分装到4个箩筐的苹果数的结果只有五种可能：

结果1 4个筐的苹果数均相同，其等式可表达为：

m×4=n

结果2 其中3个筐的苹果数相同，另一个筐的苹果数不相同，其等式可表达为：

（m1×3）+（m2×1）=n

结果3 其中2个筐的苹果数相同，另2个筐的苹果数为同另一个数，其等式可表达为：

（m1×2）+（m2×2）=n

结果4 其中2个筐的苹果数相同，另2个筐的苹果数各不相同，其等式可表达为：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

结果5 4个筐的苹果数各不相同，其等式可表达为：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

“m×4=n”、“（m1×3）+（m2×1）=n”、“（m1×2）+（m2×2）”、“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”此5个等式告诉我们，在每筐至少有一个苹果的前提下，不论是多少（n≥4）个苹果，如分装到4个箩筐，则完全可以做到，而且其分装的结果，必定可以此5个等式中之一个等式表达出来。

上文已对“n（n≥4）个苹果随意分装到4个箩筐的结果及其等式”进行了论证。现在我们把目光和思维转到“图的n个区域随意分为四组的结果及其等式”这个证题上来。

1.2 论证图的n个区域随意分为四组的结果及其等式

事实告诉我们，一个由n（n≥4）个区域组成的图，如随意分为4组，那么，其分为4组的区域数的结果只有五种可能：

结果1 4组的区域数均相同，其等式可表达为：

m×4=n（m为组的区域数，n为区域总数，下同）

结果2 其中3组的区域数相同，另一组的区域数不相同，其等式可表达为：

（m1×3）+（m2×1）=n

结果3 其中2组的区域数相同，另2组的区域数为同另一个数，其等式可表达为：

（m1×2）+（m2×2）=n

结果4 其中2组的区域数相同，另2组的区域数各不相同，其等式可表达为：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

结果5 4组的区域数各不相同，其等式可表达为：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

由此可见，（1）图的n个区域随意分为四组的结果及其等式与n个苹果随意分为四筐的结果及其等式相同，其分为四组的结果，必定可以此5个等式中之一个等式表达出来；（2）既然n个区域可以做到随意分为四组，那么，依照“同一组的区域着同一色”的对等原理，证明n个区域可以做到随意分为四色。图的n个区域随意分为四组的结果及其等式，也即是图的n个区域随意分为四色的结果及其等式。

1.3 在遵循相邻区域不能着同一组的原则下，图的n个区域分为四组的结果及其等式

笔者研究结果表明，一个由n（n≥4）个区域组成的图，在遵循相邻区域不能着同一组的原则下，不仅可合理搭配分为4组，而且其分为4组的区域数的结果也只有五种可能，其五种结果及其等式与随意分为四组的结果及其等式相同。同时也证明，其分为四组的结果，必定可以此5个等式中之一等式表达出来。

实图例证详见后文。

1.4 四色区分的五种着色结果及其等式在实践中出现的情况归纳

笔者现将上文求证到的五种结果等式称之为“四色区分的五种着色结果等式”。为着后文叙述的方便，笔者将此五种着色结果等式分别以A1、A2、A3、A4、A5等式来表示，即：

A1等式是表示“m×4=n”

A2等式是表示“（m1×3）+（m2×1）=n”

A3等式是表示“（m1×2）+（m2×2）=n”

A4等式是表示“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”

A5等式是表示“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”

上述“四色區分的五种着色结果等式”，给我们证明“在相邻区域不能搭配为同一组的原则下，平（球）体表面的图的n（n≥4）个区域，能否做到合理搭配分为四组”之问题，提供了一个已知依据。根据这个依据和数学的加减乘除法则，又可知道：（1）奇数不能被2和4整除，所以，如该图的区域数是奇数的，其可合理搭配分为“四组”的结果等式，只存在A2、A4、A5此3种等式，不可能存在A1等式和A3等式；（2）如该图的区域数是不能被4整除的偶数，其可合理搭配分为“四组”的结果等式，只存在A2、A3、A4、A5此4种等式，不可能存在A1等式；（3）如该图的区域数可被4整除的偶数，其可合理搭配分为“四组”的结果等式，均可能存在A1、A2、A3、A4、A5此5种等式。

现将图的区域可合理搭配分为四组的结果等式在实践中有可能出现的情况做出归纳，见表1。

由此得出结论：展现在平（球）体表面的图，不论其区域是多少、整体结构多么复杂，均可通过“设划单元，合理搭配”的方法，在相邻区域不能搭配为同一组的原则下，做到将图的区域合理搭配分为“四组”。因而，四色猜想成立。

2 将图的区域合理搭配分为“四组”的方法和步骤

四色猜想的四色区分之证明，实质就是将图的区域合理搭配分为“四组”的证明。在实践中，在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，如何使图的区域合理搭配分为四组得以实现，这就得讲究科学的方法。对此，笔者经过多年的探索，已探索出一套可靠的科学方法。此方法就是“设划单元，合理搭配”的方法。具体有四个步骤：

第一步 设划“单元”。就是从整体的角度，对图的区域与区域彼此之间相邻和非相邻的情况进行分析，在此基础上，根据其中若干区域在图的整体中所处的位置及作用，设划为若干“单元”。一个“单元”，可以是几个区域，也可以是单个区域。总之，视图的整体结构而定。

第二步 同一“单元”区域组合（叫做“首次组合”）。就是将同一“单元”中的无相邻关系的区域组合为同一个组，叫做“同单元区域小组”（此是小的组）。在不违背相邻区域不能组合为同一个组的原则下，一个区域可参加多个组的组合。

第三步 单元与单元之间的区域（区域小组）组合（叫做“二次组合”）。就是遵循无相邻区域可着同一色的原理，对第二步组合的组（包括单个区域、“同单元区域小组”）进行再次合理组合，将组的区域数再扩大，使之成为可着同一色的“定型组”。在同一个“定型组”中，绝不能存在相邻区域。

第四步 确定“四组”搭配方案。就是遵循四色猜想的原则，依照同一个组的区域可着同一色的原理，对第三步组合形成的“定型组”进行合理搭配，设“四组”为一个搭配方案，每一个搭配方案即为对图的n个区域进行四色区分的一个可成立方案。搭配过程中必须遵循四项原则，即：（1）同一个方案中的各个区域只能出现一次，不能有重复出现；（2）同一个方案中的区域数及区域编号必须与图的区域数及区域编号相同，不能有被遗漏的区域；（3）同一个“定型组”（即可着同一色）的区域，不能有相邻区域；（4）已确定的搭配方案必须符合四色区分的原则。

最后，“四组”搭配方案完成后，必须依照上述四项原则对各个方案进行逐项检查验证。

现进行实图作证。

例证1

如图1，是一个由12个区域组成的图。此图是《轰动全球的四色问题》一文用于证明“四色定理”的例证图。

第一步，设划单元。根据图1的12个区域彼此之间的相邻、非相邻关系以及所形成的结构模式，可设划为四个单元，即“1”为第一单元；“2，3，4，5，6”此五个区域为第二单元；“7，8，9，10，11”此五个区域为第三单元；“12”为第四单元。

第二步，同一单元区域组合。第一单元只有“1”一个区域，单个区域为一组。第二单元的“2，3，4，5，6”此五个区域，根据其区域彼此之间的相邻和非相邻的情况，可组合为两个区域为一组的五个小组，即：“2”与“4”为一组；“2”与“5”为一组；“3”与“5”为一组；“3”与“6”为一组；“4”与“6”为一组。第三单元的“7，8，9，10，11”此五个区域，根据其区域彼此之间的相邻和非相邻的情况，可组合为两个区域为一组的五个小组，即：“7”与“9”为一组；“7”与“10”为一组；“8”与“10”为一组；“8”与“11”为一组；“9”与“11”为一组。第四单元只有“12”一个区域，单个区域为一组。

第三步，单元与单元之间的区域（区域小组）组合。根据第二步已完成的各单元的区域组合情况，依照非相邻的区域或区域小组可组合为同一组的要求，单元与单元之间的区域（区域小组）的组合结果详见表2。

从表2可看出，经单元与单元之间的区域（区域小组）组合，共产生21组“定型组”，其中3个区域为一组的“定型组”有20组，2个区域为一组的“定型组”有1组（即是“1”与“12”）。

第四步，确定“四组”搭配方案。根据21组“定型组”的实际情况，依照四色猜想的四色区分的原则和“四组”搭配过程中应遵循的四项原则，确定可成立的合理搭配方案共有10个，详见表3。

在此，需说清楚的，（1）图1的区域数为12个，属于可被4整除的偶数，四色区分的五种结果等式均有可能存在。但是，由于图1的21组“定型组”中只存在区域数为3个的“定型组”和区域数为2个的“定型组”，只具备A1等式（即“m×4=n”等式）合理搭配“四组”的区域数的“定型组”，却不具备A2、A3、A4、A5此4种等式合理搭配“四组”的区域数的“定型组”。因此，图1的10个“四组”搭配方案的着色结果等式均为“m×4=n”（3×4=12）等式。（2）關于“1，12”此组“定型组”，因其区域数为2个，只能使用在A2、A3、A4、A5此4种等式的“四组”搭配上，但是，A2、A3、A4、A5此4种等式的四组“定型组”中，必须要有区域数为4个的“定型组”来搭配。因图1的21组“定型组”中不存在区域数为4个的“定型组”，所以，“1，12”此组“定型组”搭配使用不上。再是，从图1的12个区域彼此之间相邻、非相邻情况来看，如“1”与“12”同着一色，必然致使图1的12个区域须五色区分。这就违背了四色区分的原则。

从表3可知，图1的合理的“四组”搭配方案共有10个。此10个“四组”搭配方案，按四色区分均能成立。又每一个“四组”搭配方案的着色方案按“4！”计，图1的着色方案共有240种，并不是《轰动全球的四色问题》一文所说的12种。虽然其着色方案为240种，但其着色结果等式只有一个，为“m×4=n”（3×4=12）等式，其四色每一色的区域数为3个。由此得出结论，在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，图1的12个区域完全可以合理搭配分为“四组”，从中证明在遵循相邻区域不能着同一色的原则下可以做到四色区分，四色猜想成立。此证。

例证2

如图2，是一个由17个区域组成的图。经“设划单元”（设划为五个单元）、“同一单元区域组合”、“单元与单元之间的区域（区域小组）组合”（前三步过程略）之后，产生“定型组”共40组，其中区域数为3个的有20组，区域数为4个的有15组，区域数为5个的有5组。详见表4。

第四步，确定“四组”搭配方案。依照四色猜想的四色区分的原则和“四组”搭配过程中应遵循的四项原则，经对此40组“定型组”进行合理搭配，确定可成立的“四组”搭配方案共有20个（需说清楚的，有10组区域数为3个的“定型组”不能搭配使用），其中其着色结果等式属于A2等式“（m1×3）+（m2×1）=n”（即是“4×3+5×1=17”）有10个，属于A4等式“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”（即是“5×2+3×1+4×1=17”）有10个。详见表5。

从表5可知，图2的20个“四组”搭配方案，按四色区分均能成立。由此得出结论，在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，图2的17个区域完全可以合理搭配分为“四组”，从中证明在遵循相邻区域不能着同一色的原则下可以做到四色区分，四色猜想成立。此证。

例证3

图3是一个由18个区域组成的图。从该图可看出，比之图1、图2，其图的结构模式比较复杂，区域与区域彼此之间的相邻、非相邻关系比较繁杂。笔者实践表明，类似于图3的图，设划单元时应注意两点：第一，以均存在相邻关系的四个区域设划为第一单元；第二，其他单元也要以密切相邻（包括区域编号）的区域来设划。依照此两点，笔者将图3的18个区域设划为四个单元，具体是：“4，10，11，12”此4个均相邻区域为第一单元；“7，8，9，14”此4个区域为第二单元；“1，2，3，5，6”此5个区域为第三单元；“13，15，16，17，18”此5个区域为第四单元。在此，需指出的，因图3的区域与区域彼此之间的相邻、非相邻关系比较繁杂，故其“单元与单元之间的区域（区域小组）组合”的灵活性较大。经“设划单元”、“同一单元区域组合”、“单元与单元之间的区域（区域小组）组合”之后，产生“定型组”共574组，其中区域数为3个的有96组，区域数为4个的有110组，区域数为5个的有116组，区域数为6个的有168组，区域数为7个的有72组，区域数为8个的有12组。

因可供四组搭配的“定型组”有五百多组，可以肯定，可成立的四组搭配方案数在60种以上。对此，本人无法将其详尽列出（其实，从“证明能否做到四色区分”这个角度来说，也没有必要详尽列出“四组搭配方案”，因为列出的可成立的部分“四组搭配方案”，足可对“能否做到四色区分”之问题做出肯定的证明），只好将其中“某类型”的16种“四组搭配方案”列出，见表6。

从表6可知，表中的16种“四组搭配方案”，是局限于“第一组‘定型组四个区域不变，其他三组‘定型组的区域略有变动”的情况下的16种方案。此16种“四组搭配方案”，按四色区分均能成立。由此得出结论，在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，图3的18个区域完全可以合理搭配分为“四组”，从中证明在遵循相邻区域不能着同一色的原则下可做到四色区分，四色猜想成立。此证。

3 “四组搭配方案”的简捷方法

笔者从四色猜想命题只是证明能否做到四色区分，而不是求证“四组搭配方案”数多少这个证明点出发，避开对“四组搭配方案”数的求证，创立了“四组搭配方案”的简捷方法，即是“设划单元+表中搭配”的方法。

第一步，“设划单元”。要求及做法没有变。但有一点要予以注意的，就是类似于图3的图，一定要以均存在相邻关系的四个区域设划为第一单元。因为，本人研究结果表明，展现在平（球）体表面的图最多只能做到使“四个区域全相邻”，第一单元的均相邻的四个区域是四组区域搭配时“看齐”的“基准区域”。

第二步，“制表搭配”。先编制好表格，表格内容有四个栏目（1）四组序号；（2）各单元合理搭配的区域；（3）四组搭配方案结果；（4）着色结果等式。编制好表格后就进入合理搭配程序。

在搭配过程中，必须遵循四色猜想的四色区分的原则和“四组”搭配过程中应遵循的四项原则。搭配完成后，必须对照“四项原则”进行检查。

现以实图进行证明。

例证1 以上文图3为例。

第一步，“设划单元”。从该图看出，均存在相邻关系的四个区域共有五组，即：“4，10，11，12”、“4，7，10，15”、“7，9，10，14”、“7，10，14，15”、“10，13，14，15”。现设“4，7，10，15”此四个区域为第一单元；“8，9，13，14”此四个区域为第二单元；“11，12”此两个区域为第三单元；“1，2，3，5，6”此五个区域为第四单元；“16，17，18”此三个区域为第五单元。

第二步，“制表搭配”。

经验证，表中四种“四组搭配方案”，不存在相邻区域同一组的现象，也不存在某个区域重复出现或被遗漏的情况，均可成立。从中证明，在遵循相邻区域不能着同一色的原则下，图3的18个区域可做到四色区分。因此，四色猜想成立。此证。

例证2 以上文图2为例。

第一步，“设划单元”。从该图看出，图的区域与区域彼此之間形成的规律有序、层次分明。据此，设区域“1”为第一单元；内一环的“2，3，4，5，6”此五个区域为第二单元；内二环的“7，8，9，10，11”此五个区域为第三单元；外环的“12，13，14，15，16”此五个区域为第四单元；区域“17”为第五单元。

第二步，“制表搭配”。

经验证，表中两种“四组搭配方案”，不存在相邻区域同一组的现象，也不存在某个区域重复出现或被遗漏的情况，均可成立。从中证明，在遵循相邻区域不能着同一色的原则下，图2的17个区域可做到四色区分。因此，四色猜想成立。此证。

4 结论

综上证明，得出结论：展现在平（球）体表面的图，不论其区域是多少、整体结构多么复杂，均可通过“设划单元，合理搭配”的方法，在遵循相邻区域不能搭配为同一组的原则下，做到“四组”合理搭配，而且其可成立的方案数有多个。因而，依照“同一组区域着同一色”的对等原理，在遵循相邻区域不能着同一色的原则下，对图的区域完全可做到四色区分，使四色猜想得以成立。

证毕。

2018年10月28日