不等式的初等证法

广西梧州市龙圩第一实验小学 纪柱欣

不等式初等证明是中学教学的一个非常重要的内容，也是难点之一。在数量关系上，虽然不等式关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但人们对于不等式的认识要比方程要迟得多。直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要的组成部分。

同时在研究数学的不等式的初等证法过程中，不等式的初等证明问题需要多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。在本文中，列举了一些不等式的初等证法的常用方法、一些利用函数单调性与函数凹凸性证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法。希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点。从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式的初等证法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式。

一、不等式的初等证法的常用方法

1. 比较法(作差法)

在比较法中，对通过两个实数a与b的作差(a-b)，变形（配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等等），再去判断a与b差的符号（范围：a-b＞ 0 ,a-b= 0 ,a-b＜ 0 ），来确定a与b大小关系的方法为作差比较法。

所以a＞b＞0,

又因为ac＞bd，

即证ac＞bd。

2. 作商法

例2 已知a＞ 2c,c＜b,c＞ 0 ,b＞0证明：ab＞cb+c2.

证2ab＞cb+c,

化为ab-c2＞cd,

推出2ab-c＞cb，

即ab＞cb+c2.

3. 放缩法

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍弃一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的，值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

4. 数学归纳法

对于含有的n(n∈N)不等式，先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时，不等式成立。再去假设n=k时，不等式成立。最后证明n=k+1时，不等式也成立。一般情况下，在证明第二步时候要充分利用n=k时不等式成立的条件，以n=k时的不等式为基础，进行合理放缩，不等式两边同时乘以一个数，等一系列变换，证明n=k+1时，不等式也成立，从而证明不等式对n取第一个值以后的自然数都成立。

二、利用函数证明不等式的初等证法

1. 利用函数单调性证明不等式

利用函数的单调性解决不等式问题时，根据所证不等式问题的具体情况，构造出相应的函数，并将原问题进行等价转换，从函数的增减性进行分析，从而解决所求的问题。

2. 利用函数凹凸性证明不等式

函数的凹凸性证明不等式，是通过构造辅助函数f(x),求出函数的二阶导数，再结合其凹凸性利用定理的推论及定义的应用进行分析，从而解决所求的问题。

总之证明初等不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法；要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，从而使问题巧妙解决。