基于热力学熵的数学模型构建过程

梁韵瑾

摘 要：熵最初起源于热学现象，是描述热力学系统分子无序度的状态量。随着对热力学熵研究的不断深入，熵已经逐渐脱离了热力学学科范畴，具有了更深层的信息论、系统论等拓展领域和哲学韵味。本文试图从熵的起源、熵的微观含义、信息论、基于标准化熵的熵权理论等方面逐步分析、构建基于热力学熵的数学模型，以此加深基于熵理论背后数学含义的理解，加强对热力学熵的物理概念和拓展应用方面的认识。

关键词：熵；统计熵；信息熵；熵权理论；数学模型

中图分类号：U491.1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）21-0218-02

1 引言

熵于1865年由物理学家克劳修斯首次提出，最初应用在传统热力学中，可用于表达热力学系统的宏观状态。熵作为一个抽象概念，经过一百多年众多学者的研究思考，熵的相关问题在理论上得到了很大突破，同时基于熵概念构建的一系列数学模型在应用上也渗透到信息学、社会科学、生物学、哲学、经济学和工程科学等众多学科领域，但在其应用泛化的同时，不可避免地也带来概念和理论上的层次混乱[1]，因此梳理熵的发展历程，研究基于热力学熵的数学模型构建过程对科学的发展及应用的规范具有重大现实意义。

2 熵的起源

熵是表征热力学系统分子无序度的物理量，具有宏观定义与微观定义[2]，早在1824年卡诺提出了卡诺机循环定理，并说明卡诺热机在理想状态下时其高温吸热量等于处于低温状态下的放热量，即，这里Q表示热机具有的能量，Tx表示热机具有的温度，其热温比前后不变。卡诺机循环揭示了能量转换的规律，也为热力学第二定律的提出打下了良好基础。1865年，克劳修斯提出了热力学第二定律，表示理想系统在可逆状态下时，在不可逆状态下时，并定义了熵这一物理量，表征为系统热量与温度的比值，即，由于能量不易测量，故用来表示熵。

在可逆状态下时：

在不可逆状态下时：

由于在孤立系统中系统不与外界进行能量交换，所以△Q=0，即△S≥0，这就是著名的热力学第二定律，又名熵增原理，这里的熵叫做热力学熵，表示系统中热量转化为功的程度和能量在空间中分布的均匀程度。这是熵的首次提出，此时熵只具有热力学的宏观意义，表征热力学系统分子混乱度的一个状态量，其大小只与初末态有关，与所经历的过程无关。

3 熵的微观含义

热力学第二定律系统下的熵不仅具有宏观定义，而且还具有微观表述。早在1872年玻尔兹曼便提出了在分子运动中熵的微观含义，他定义的统计熵是在微观态上由大量统计得出的结果[3]，S=klnΩ，其中Ω表示宏观态中所对应的微观状态的数目，k为玻尔兹曼常数，取值约为1.38×10-23J/K。根据玻尔兹曼提出的等概率原理，当宏观态中微观状态被取到的概率相等时，P=，P表示概率，即：

玻尔兹曼将热力学熵与概率统计相互联系起来得到熵的微观表述，其中S=klnΩ表示热力学系统的紊乱程度。当系统处于非平衡状态时，系统处于有序状态，能量密度分布不均匀，混乱度较小，熵较小；系统处于平衡状态时，系统处于无序状态，能量密度分布均匀，混乱度较大，熵较大。由此看出，熵越大表示系统越趋向于平衡态，反之相反。此时熵便从宏观热力学角度推广到了以量子理论为基础的统计热力学微观层次。

4 信息熵

1948年信息论的创始人香农基于对熵在热力学中的研究，受到玻尔兹曼从微观角度描述热力学熵的启发，首先系统性地提出了信息的度量方法，他利用概率论与数理统计的方法，把熵作为一个随机事件的不确定性或信息量的度量，把获得的信息用来表示消除信息不确定性的可能，将熵从热力学和统计力学角度推广到了信息计量的信息熵角度，从而奠定了现代信息论的科学理论依据[4]。香农得出的信息熵具有一定的哲学韵味，将信息计量与分子统计进行了类比。假设信息源中有无数信号，其中某种信号的概率为Pi，此时信息量为-lnPi。当信号有n种且其概率P均相等时，该信息源中的平均信息量为：

这个新推出的与平均信息量相关联的公式与玻尔兹曼推出的熵的公式有惊人的一致性，于是香农大胆地假设出信息熵这一概念，用于表达一个系统，即一个信息源中所含有的平均信息量。

当随机变量为离散型数据时：

其中c为常数，取值与信息度量单位选择有关。

当随机变量为连续型数据时：

其中f（x）为连续型随机变量x的概率密度分布函数。当系统中信息量，得到信息量的途径、手段越多时，信息熵越小；当系统中信息量，得到信息量的途径、手段越少时，信息熵越大。信息熵可用于评判一个信息体系的正负值，可作为一种工具去帮助信息流由无序趋向有序，熵值减小的方向转移。信息熵的提出又把熵扩展至了信息学的领域。

5 基于标准化熵的熵权理论

截至信息熵概念的建立，熵已具有了一定哲学意义，即用熵来描述系统的宏观状态。此时学者们希望建立一个有普适意义的熵，即具有标准性，可用于各种系统中，这就是标准化熵[5-6]。标准化熵是系统约束性的度量，可用于度量系统的标准化状态。系统约束较低时，熵较高；而系统约束较高时，熵较低。熵权法也随之而建立，表示各指标的变异程度，依照信息论，信息熵：

，其中

对于有n个待评项目，m个评价指标的系统而言，某指标rj的频率或概率用该指标在n个待评项目下的归一化系数表示，即：

其中rij為待评指标观测值。进而求得指标的效用值为：

则指标的权重值为：

运用各指标的熵权进行加权计算，可以得出更为准确、客观的结果。当指标变异程度越小，系统越有序，权重越小，对应的熵权越小。当指标变异程度越大，系统越无序，权重越大，对应的熵权越大[7]。

6 结语

熵不仅在理论上具有极大成果，在应用上的延伸也十分广泛，目前熵已经扩展到信息学、社会科学、生物学、哲学、经济学和工程科学等学科领域。比如应用熵理论可以表示社会的负面程度，表征社会的混乱程度。薛定谔引入的负熵概念可以在生物界表现人体及其他生物都朝向混乱度增加的方向移动。在工程应用中，熵也可以用来分析项目可靠性，指导工程的有效进行等。熵在短短一百多年内由传统热力学逐渐扩展到了如今广泛应用的各种领域，从宏观和微观各角度都赋予了熵丰富的内涵，实现了从理论走进实际，并上升到哲学意义的过程。作为一个前景良好，基础扎实的概念，熵在今后也必有更大的突破。

参考文献

[1]董春雨，姜璐.试论熵概念的层次性[J].自然辩证法研究，1995，（8）：23-26.

[2]李秀燕，肖荣辉，陈赐海.熵的概念及其拓展[J].漳州师范学院学报（自然科学版），2009，（3）：63-67.

[3]李林，单长吉.熵的概念理解及应用[J].黑龙江科技信息，2014，（14）：29.

[4]张绍伶.基于熵权法的水利工程工期方案评价研究[D].大连：大连理工大学，2014.

[5]麦绿波.标准化学科熵的概念及其数学模型的创建（上）[J].中国标准化，2012，（11）：79-82.

[6]麦绿波.标准化学科熵的概念及其数学模型的创建（下）[J].中国标准化，2012，（12）：79-82.

[7]刘琼，史诺.熵权法在教学评价中的量化分析与实证研究[J].长沙航空职业技术学院学报，2015，（3）：21-24.